DISEÑOS FACTORIALES CON DOS FACTORES.

4.1 DISEÑOS FACTORIALES CON DOS FACTORES.

Los tipos más sencillos de diseños factoriales implican sólo dos factores o conjuntos de tratamientos. Hay a niveles del factor A y b niveles del factor B, dispuestos en un diseño factorial; esto es, cada repetición o réplica del experimento contiene todas las combinaciones de tratamiento ab. En general, hay n repeticiones.

Como un ejemplo de diseño bifactorial (con dos factores), consideremos el caso en que un ingeniero diseña una batería para su uso en un dispositivo que será sometido a ciertas variaciones extremas de temperatura. El único parámetro de diseño que él puede seleccionar en este punto es el material de la cubierta de la batería, y tiene tres alternativas. Cuando el dispositivo se manufactura y se envía al campo, el ingeniero no tiene control sobre los extremos de temperatura a que será expuesto el dispositivo, y sabe por experiencia que es probable que la temperatura influya en la duración efectiva de la batería. Sin embargo, sí es posible controlar la temperatura en el laboratorio de desarrollo de productos para los fines de ensayo.

El ingeniero decide probar los tres materiales de la cubierta a tres niveles de temperatura (15, 70 y 115 ºF) consistentes en el entorno de uso final del producto. Se prueban cuatro baterías a cada combinación de material de la cubierta y temperatura, y las 36 pruebas se ejecutan al azar. En la Tabla 4-4se presenta el experimento y los datos resultantes de duración observada de las baterías.

Tabla 4-4 Datos de duración (en horas) para el ejemplo de diseño de una batería.

Tipo de Material Temperatura ºF

15 70 125

1 130 155 34 40 20 70

74 180 80 75 82 58

2 150 188 126 122 25 70

159 126 106 115 58 45

3 138 110 174 120 96 104

168 160 150 139 82 60

En este problema, el ingeniero desea contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Qué efecto tienen el tipo de material y la temperatura sobre la duración de la batería?

2. ¿Existe una elección del material que dé por resultado una duración uniformemente larga sin importar la temperatura?

Esta última pregunta reviste particular importancia. Existe la posibilidad de hallar un material que no sea muy afectado por la temperatura. De ser así, el ingeniero puede hacer que la batería sea robusta a la variación de temperatura en el campo. Éste es un ejemplo del uso del diseño experimental estadístico para el diseño de un producto robusto (o consistente), un importante problema de ingeniería.

Este diseño es un ejemplo específico del caso general de un diseño con dos factores (bifactorial). Para pasar al caso general, sea yijk la respuesta observada cuando el factor A se encuentra en el i-ésimo nivel (i=1,2,…,n). En general, los datos observados se verán como en la Tabla 4-5. El orden en el cual se toman las abn observaciones es aleatorio, de modo que éste es un diseño completamente aleatorizado.

Tabla 4-5 Disposición general para un diseño bifactorial

Factor B

Factor A

1 2 b

1

2

a

Las observaciones pueden describirse mediante el modelo estadístico lineal:

(4-1)

En donde µ es el efecto medio general, τi es el efecto del i-ésimo nivel del factor renglón A, βj es el efecto del j-ésimo nivel del factor columna B, (τβ)ij es el efecto de la interacción entre τi y βj y εijk es el componente del error aleatorio. Inicialmente se supone que ambos factores son fijos y que los efectos del tratamiento se definen como desviaciones de la media general, por lo tanto y . Se supone que los efectos de interacción son fijos y que se definen de manera que . Hay un total de abn observaciones porque se realizan n réplicas.

En un diseño factorial de dos factores, tanto los factores (o tratamientos) de renglón como de columna tienen la misma importancia.

Específicamente el interés consiste en probar hipótesis acerca de la igualdad de los efectos de tratamiento de renglón, es decir:

Al menos una (4-2a)

Y de la igualdad de los efectos de tratamiento de columna:

Al menos una (4-2b)

También es interesante determinar si los tratamientos de renglón y columna interaccionan. En otras palabras, resulta conveniente probar:

para toda i, j

Al menos una (4-2c)

A continuación, se muestra como pueden probarse estas hipótesis usando un análisis de variancia bifactorial o bidireccional (de dos factores o en dos sentidos).

Análisis Estadístico del Modelo de Efectos Fijos

Sea yi.. el total de las observaciones bajo el i-ésimo nivel del factor A, y .j. el total de las observaciones bajo el j-ésimo nivel del factor B, yij. el total de las observaciones de la ij-ésima celda, e y… el total general de todas las observaciones. Se definen y como los promedios de renglón, columna, celda y general, respectivamente. Matemáticamente:

(4-3)

La suma total de cuadrados corregida puede expresarse mediante:

(4-4)

Porque los seis productos cruzados del segundo miembro de la ecuación son iguales a cero. Se observa que la suma total de cuadrados se ha descompuesto en una suma en una suma de cuadrados debida a los “renglones” o al factor A (SSA), en una suma de cuadrados debida a las “columnas” o al factor B (SSB), en una suma de cuadrados debida a la interacción entre A y B (SSAB), y en una suma de cuadrados debida al error (SSE). Analizando el último término del miembro derecho de la Ecuación 4-4 es posible observar que es necesario tener al menos dos réplicas (n ≥ 2) para poder obtener la suma de cuadrados del error.

Simbólicamente, la Ecuación 4-4 puede expresarse mediante:

(4-5)

Los grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados son:

Efecto Grados de Libertad

A a – 1

B b – 1

Interacción AB (a – 1)(b – 1)

Error ab(n – 1)

Total abn – 1

Esta descomposición del total de abn – 1 grados de libertad para las sumas de

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