Definición de Probabilidad.

Definición de Probabilidad.

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.

La frecuencia relativa del suceso A:

Propiedades de la frecuencia relativa:

1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A.

2. fr( ) = fr(A) + fr(B) si = Ø.

3. fr(E) = 1 fr(Ø) = 0.

Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.

MÉTODOS DE CONTEO

En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición.

Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos: permutación, combinación y ordenación

PERMUTACIONES

Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.

El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, se designa por:

Permutación lineal con elementos diferentes

El número de permutaciones de “n” objetos diferentes, tomados en grupos de k elementos (siendo k£n) y denotado por , estará dado por:

donde: n, k e N y 0 £ k £ n

Método 2: (usando la fórmula de permutación lineal)

• Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10 atletas (n = 10)

Permutación lineal con elementos repetidos

Frecuentemente queremos encontrar el número de permutaciones de objetos donde algunos son similares. La fórmula general para esto, es la siguiente:

[1]TEOREMA: el número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son similares de alguna manera, n2 son similares de otra manera, …. , nr son similares aún de otra manera, es

de otra forma; el número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces:

Donde: n1 + n2 + n3......+ nk = n

PARTICIONES

Permutación circular

Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con “n” objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto.

El número de permutaciones circulares será:

Combinación simple

Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o con todos los elementos de un conjunto dado sin que ninguno se repita y sin importar el orden de ellos. Estas agrupaciones se diferencian entre sí, sólo por los elementos que las conforman.

El número de combinaciones de n objetos tomando r a la vez se denota C(n,r).

La formula general para hallar el número de combinaciones es:

ORDENACIONES

Ordenación simple

Son ordenaciones simples todas las agrupaciones de k elementos, dispuestos linealmente, que se pueden formar a partir de n elementos distintos ( k  n ), sin que ninguno se repita. Estas agrupaciones se diferencian entre sí, por los elementos que las componen o por su orden.

El número de variaciones de k elementos que pueden formarse a partir de n elementos distintos ( Vkn ) , es:

Ordenación con repetición

Son ordenaciones con repetición, todas las agrupaciones de k elementos, dispuestos linealmente, que se pueden formar a partir de n elementos distintos, donde cada uno de los elementos puede formar parte de la agrupación, tantas veces como sea posible.

El número de variaciones con repetición de k elementos, que pueden formarse a partir de n elementos distintos ( Vkkn ) , es:

Suceso o evento

Definición

Cada subconjunto del espacio muestral se llama suceso ( o evento ) . Si consta de un solo elemento se le dice evento elemental.

Ejemplo

Sean U el espacio muestral formado por los 10 dígitos, A y B eventos tales que:

A ocurre si y sólo si el dígito es par.

B ocurre si y sólo si el dígito es múltiplo de 3.

Entonces:

A = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 }

B = { 0 , 3 , 6 , 9 }

Basándonos en el concepto de evento, podemos concluir que tanto el conjunto U como el conjunto vacío ( Ø ) son también sucesos, U es el suceso o evento cierto o seguroy Ø es el suceso imposible.

Espacio muestral

En este artículo sobre matemáticas se detectaron los siguientes problemas:

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