Probabilidades: Definiciones Y Conceptos

probabilidades: Definiciones y Conceptos

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.

Probabilides, Algunas Definiciones

Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es

E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}

ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es

E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto

B C =

Eventos Complementarios.- Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y

Bc = A

Su Medición Matemática o Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón:

P(A) = número de casos favorables para A/número total de casos posibles

A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.

Se deduce de la definición lo siguiente:

0 P(A) 1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0% P(A) 100% en porcentaje.

P( ) = 0 y P(E) = 1

Su Medición Experimental o Estadística.- La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razón

FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza el experimento

Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el número de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.

• CONCEPTOS BÁSICOS

Probabilidad. Es el estudio de los fenómenos de los que no estamos seguros de su ocurrencia.

Fenómeno. Es la ocurrencia de un hecho o suceso.

Experimento. Es un fenómeno observable perfectamente definido.

Los fenómenos observables se pueden clasificar en:

• Deterministicos. Se puede predecir el resultado.

• Aleatorios. No se puede predecir el resultado.

Tipos de sucesos

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5; otro suceso elemental es sacar un número mayor que 3.

E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

A = { 5 } B = { 4, 5, 6 }

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral, en otras palabras es un suceso formado por varios sucesos simples.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso compuesto sería que saliera impar y número primo

E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

A = { 1, 3, 5 } ,B = { 2, 3, 5 }. Suceso compuesto: A ∩ B = { 3, 5 }

Otro suceso compuesto sería extraer una bola blanca o una verde de una bolsa que contiene bolas de tres colores

A: extraer bola blanca. B: extraer bola verde.

Suceso compuesto: A U B = extraer bola blanca o verde

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E = A

Suceso imposible, ϕ, es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

A = { } = ϕ

Sucesos compatibles cuando tienen al menos un suceso elemental común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

A = { 2, 4, 6 } B = { 3, 6 } A ∩ B = { 6 }

A ∩ B representa el conjunto de elementos comunes entre A y B.

Sucesos incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

A = { 2, 4, 6 } B = { 5 } A ∩ B = { }

Los Sucesos incompatibles también se conocen como sucesos mutuamente excluyentes.

Sucesos independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Suceso contrario o complementario un suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por AC

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Definición de Probabilidad (Regla de Laplace)

Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equipo

probables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es

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