Demostraciones Econometricas

1

ECONOMETRÍA I

Profra.: Ilana Méndez Castrejón

Clase 1: Obtención de los estimadores y

demostraciones (termino de perturbación, u)

Septiembre, 2012

Para el modelo de regresión lineal, i i i Y   X  u 1 2   se obtienen los estimadores y se

verificaron las siguientes propiedades numéricas de los estimadores de MCO :1

    

    

   

n

i

n

i

i i

n

i

i i

n

i

i i

n

i

i u u X u Y Y Y

1 1 1 1 1

.

ˆ 0; ˆ 0; ˆ ˆ 0 ˆ

Para realizar cada una de estas demostraciones, en primer lugar se realizo el cálculo de las

ecuaciones normales y la obtención de los estimadores del Modelo de Regresión Lineal Simple. El

modelo de regresión de dos variables está dado por una relación lineal aproximada, que está dada

por:

i i Y β β X 0 1   ( 1 )

Donde:

Yi = Variable dependiente poblacional

β0 = Ordenada al origen poblacional de Y, si el intervalo de los datos incluye a X = 0, entonces

dicho coeficiente, es la media de la distribución de la respuesta y cuando X = 0.

β1 = Pendiente poblacional, que mide el cambio de la media de la distribución de y producido por

un cambio unitario en X.

Dado que es improbable que los puntos caigan precisamente sobre la línea, la relación lineal

exacta de la Ec. (1) debe ser modificada para obtener el término de perturbación aleatorio, error o

término estocástico, ui:

1 Para las demostraciones se basan en Gujarati y Porter (2010) y Montgomery (2006)/ Introducción al análisis

de Regresión Lineal, CECSA.

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES “ACATLÁN”

DIVISIÓN DE CIENCIA ECONÓMICAS

2

i i i Y  β  β X  u 0 1 ( 2 )

Para ajustar una línea de recta óptima a la muestra para observaciones XY, se utiliza el Método de

Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO o RLS por sus siglas en inglés), lo cual involucra minimizar

la suma de los cuadrados o desviaciones (verticales) entre los puntos de la línea:

Min (Y Yˆ )2 i i   ( 3 )

Donde Yi se refiere a las observaciones reales; Ŷi a los valores ajustados correspondientes, así Yi –

Ŷi = ui, es el residuo o término de error donde:

u Y Y Y (β β X ) i i i i 0 1 i

ˆ   ˆ   ˆ  ˆ ( 4 )

La suma de los errores al cuadrado (RSS) es:

 

 

   

n

i

i i

n

i

i RSS u Y X

1

2

0 1

1

2 ˆ ( ˆ ˆ ) ( 5 )

El objetivo es minimizar la suma de los errores al cuadrado (RSS). Para ello, se expresa la Ec. (5)

en función de los estimadores β0 y β1:

   

n

i

i i MIN RSS Y X

1

2

0 1 ( ˆ ˆ ) ( 6 )

Para minimizar RSS, se deriva parcialmente con respecto a las betas, es decir las condiciones de

primer orden:







     



 







n

i

i i

n

i

i i

Y X

Y X

RSS

1

0 1

0

1

2

0 1

0

2 ( ˆ ˆ ) ( 1) 0

ˆ

( ˆ ˆ )

ˆ

 



 



3







     



 







n

i

i i

n

i

i i

Y X X

Y X

RSS

1

0 1

1

1

2

0 1

1

2 ( ˆ ˆ ) ( ) 0

ˆ

( ˆ ˆ )

ˆ

 



 



Para obtener los estimadores mínimo-cuadráticos se resuelve cada una de las derivadas anteriores

igualadas a cero:

  

  



             





n

i

i i

n

i

i i

n

i

i i Y X Y X Y X

RSS

1

0 1

1

0 1

1

0 1

0

2

2 ( ˆ ˆ ) ( 1) 0 ( ˆ ˆ ) ( 2) 0 ( ˆ ˆ ) 0

ˆ

     



          



Y X Y X Yi Xi i i

n

i

i i 0 1 0 1

1

0 1

( ˆ ˆ ) 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ

 

 

 

n

i

i

n

i

Yi n X

1

0 1

1

ˆ ˆ ( 7 )

  

  

              





n

i

i i i

n

i

i i i

n

i

i i i Y X X Y X X Y X X

RSS

1

0 1

1

0 1

1

0 1

1

( ˆ ˆ ) ( ) 0

2

2 ( ˆ ˆ ) ( ) 0 ( ˆ ˆ ) ( ) 0

ˆ

     



ˆ ˆ 0

1

2

1

1 1

0      

  

n

i

i

n

i

n

i

i i i Y X  X  X ( 8 )

Las ecuaciones (7) y (8) se denominan Ecuaciones Normales de la Recta de Regresión:

( ˆ ˆ ) 0 ˆ ˆ 0 ( 1) ˆ ˆ 0

1

2

1

1 1

0

1

2

1

1 1

0

1

2

0 1                

      

n

i

i i

n

i

n

i

i i

n

i

i i

n

i

n

i

i i

n

i

i i i i Y X X   X Y X  X  X Por Y X  X  X

4

 

 

 

n

i

i

n

i

Yi n X

1

0 1

1

ˆ ˆ (

...