Diferencial Total

DIFERENCIAL TOTAL

La derivada y la diferencial no significan lo mismo.

REVISIÓN DE CONCEPTOS DE DERIVADA Y DIFERENCIAL

Recordemos las definiciones y nomenclatura:

∆x: Incremento finito en la variable “x”.

∆y: Incremento finito en la variable “y”.

Concepto de derivada:

dy/dx=lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x〗 : derivada de “y” con respecto a “x”

Concepto de diferencial:

dy: diferencial de “y” o variación infinitesimal de “y”.

dx: diferencial de “x” o variación infinitesimal de “x”.

Relación entre diferencial y derivada:

dy=(dy/dx)dx

Según esta expresión “la diferencial de “y” es igual a la derivada de “y” con respecto a “x” por la diferencial de “x”” (la variación en “y” es igual a la rapidez con la que cambia “y”con respecto a “x” multiplicada por lo que varíe “x”).

Concepto de derivada parcial y diferencial total

Si una función tiene más de una variable, aparecen las llamadas “derivadas parciales” con el objetivo de analizar como varía la función respecto a una variable en particular. Para el caso de una función de 2 variables se puede escribir que:

z=f(x,y)

Y su diferencial total viene ahora dada por:

dz=(dz/dx)_y dx+(dz/dy)_x dy

Dónde: (dz/dx)_y es la llamada derivada parcial de “z” respecto a “x” manteniendo la “y” constante.

Asimismo, (dz/dy)_x es la derivada parcial de “z” respecto a “y” manteniendo la “x” constante.

(Nótese que el símbolo para derivada parcial es ∂ en lugar de d).

Un ejemplo sería la ecuación de los gases ideales para un número fijo de moles de gas “n”:

PV=nRT → V=nRT/P

Cumpliéndose que: (∂V/∂T)_P=nR/P y que: (∂V/∂P)_T=-nRT/P^2

Y la diferencial total para V seria:

dV=(∂V/∂T)_P dT+(∂V/∂P)_P dP → dV=nR/P dT+(-nRT/P^2 ) dP

Diferencial total

En matemática, el diferencial total de una función real de varias variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.

Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:

Representación

En cálculo vectorial, el diferencial total de una función se puede representar de la siguiente manera:

Donde f es una función .

Derivada total

La derivada total

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