Distribuccion Poisson

PROCESO POISSON NO HOMOGENEO

INDICE

INTRODUCCIÓN………………………………………………………3

INTRODUCCIÓN AL PROCESO POISSON………………………….4

TEOREMA DE POISSON……………………………………………...5

PROCESO POISSON…………………………………………………...6

METODOS PARA GENERAR POISSON NO HOMOGÉNEA……....6

Cambio de escala…………………………………………...6

Condicionamiento………………………………………….7

Rechazo a partir de un proceso homogéneo……………….9

TABLA COMPARATIVA PROCESOS POISSON…………………..10

EJEMPLO………………………………………………………………11

CONCLUSIÓN Y BIBLIOGRAFÍA...…………………………………12

Introducción

En este trabajo se explicara el proceso Poisson (o ley de los sucesos raros) no homogéneo, así como también se ejemplificara la forma en la que este se utiliza en el análisis de probabilidades.

El proceso Poisson, debe su nombre a Siméon Denis Poisson, quien nació en Francia el 25 de Abril de 1840

Siméon Poisson fue un reconocido físico y matemático francés al que se le conoce por sus diferentes trabajos en el campo de la electricidad, también hizo publicaciones sobre la geometría Diferencial y la teoría de probabilidades.

Introducción al proceso Poisson

El proceso Poisson esta basado en el conteo de eventos “raros”, lo cual quiere decir que hay una gran cantidad de sucesos, con una baja probabilidad.

La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

Para Poisson, esto se explica con una sola variable, llamada variable de intensidad, que se simboliza con λ, que se mide en cierto intervalo T

λ =np

con n muy grande y p muy cercano a cero.

Sean T1,T2, . . . variables aleatorias idénticamente distribuidas, no negativas y

Sn = T1 + • • • + Tn si n ≥ 1 y S0 = 0

Pensemos en {Sn} como los tiempos en los que se reporta una incidencia (fallo, reclamo, etc.) en un sistema. El proceso que representa el total de incidencias hasta el tiempo t, definido por

N(t) = max{n : Sn ≤ t},

se conoce como proceso de renovacion. El caso particular en el que los tiempos entre incidencias T1,T2, . . . son variables exponenciales con media λ > 0 se denomina proceso de Poisson con intensidad λ. A partir de la formula de convolucion para la suma de variables independientes, se demuestra que N(t) es una variable aleatoria Poisson con media λt

Teorema de Poisson

{N(t), t ≥0} es un proceso de Poisson con intensidad λ si y solo si:

1

1. N(0) = 0

2

2. N(t) − N(s) ~ Poisson(λ (t − s)), para todo 0 ≤s < t

3. {N(t), t 0} tiene incrementos independientes. Es decir, si t0 < t1 < • • • < tm entonces

N(t1) − N(t0),N(t2) − N(t1), . . . ,N(tn) − N(tn−1) son variables aleatorias independientes

Ejemplo:

Supongamos que un equipo juega como siempre en un estadio prestado, en el que los hinchas rompen las graderías a una tasa λ= 30 butacas por hora:

¿Cuál es el tiempo esperado hasta un chuncho hincha rompa la décima butaca?

¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que transcurre entre la butaca rota 15 y la 16 exceda los 5 minutos?

El rompimiento de butacas es un proceso de Poisson de tasa λ=30 butacas por hora, es decir, λ=1/2 butacas por minuto. El tiempo esperado hasta que se rompa la décima banca E(S10) = n/λ= 10/(1/2) = 20 minutos

la probabilidad de que el tiempo que transcurre el rompimiento de la banca 15 y la 16 exceda los 5 minutos es P(T16 > 5) = e-5/2 ≃0.082.

Proceso Poisson no homogéneo

Este proceso se basa en que, a diferencia del proceso Poisson común (que cuenta la cantidad de sucesos en un intervalo), en asociar directamente a la variable de intensidad (λ(t)), por lo cual, para un proceso Poisson no homogéneo se debe cumplir:

1. N(0)=0

2. {N(t), t ≥ 0} es de incrementos independientes

3. P(N(t+h)-N(t) = 1) = λ(t)h+o(h)

4. P(N(t+h)-N(t) ≥ 2) = o(h).

La importancia de los procesos no homogéneos, también denominados no estacionarios, reside en que no se requiere que se verifique la condición de incrementos estacionarios, por lo que contemplamos la posibilidad de que algunos sucesos sean más frecuentes en ciertos periodos de funcionamiento( de ahí viene el nombre “no homogéneo”)

Métodos de generación de procesos Poisson no homogéneo

Para un tiempo prefijado

Los tres métodos más conocidos de generación de un proceso de Poisson no

homogéneo de este tipo se basan en la modificación de la escala de tiempo, en el

condicionamiento y en una adaptación del método de rechazo.

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