EL PRIMER CASO DE FACTORES SE DIVIDE EN DOS PARTES QUE SON: FACTOR COMÚN MONOMIO Y FACTOR COMÚN POLINOMIO

LOS 10 CASOS DE FACTORIZACIÓN

PRIMER CASO

EL PRIMER CASO DE FACTORES SE DIVIDE EN DOS PARTES QUE SON: FACTOR COMÚN MONOMIO Y FACTOR COMÚN POLINOMIO

FACTOR COMÚN MONOMIO

Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término si hubiera + ó – seria binomio, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

EJEMPLO 1:

5a2 - 15ab - 10 ac

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto

 5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c)

SEGUNDO CASO

FACTOR COMUN POR AGRUPACION

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas.

EJEMPLO1

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:

                        (2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)

Saco el factor común de cada grupo:

                        a (2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

                        (2x -y +5)(a + b)

TERCER CASO

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Es igual al cuadrado de un binomio. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

EJEMPLO  1 :

a2 +2ab + b2= (a+b)2

4x2 – 20xy + 25y2= (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)2 R/.

16 + 40x2 + 25x4 = (4 + 5x2) (4 + 5x2) = (4 + 5x2)2

9b2 – 30a2b + 25a4 = (3b – 5a2) (3b – 5a2) = (3b – 5a2)2

400x10 + 40x5 + 1 = (20 x5 + 1) (20 x5 + 1) = (20 x5 + 1)2

CASO CUATRO

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. 

EJEMPLO  1:

1  9y2-4x2= (3y-2x) (3y+2x)   R//

CASO ESPECIAL

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas. 

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de c2 es  c  

Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del Sustraendo (a + b - c)

EJEMPLO  1:

1   4x2 - (x + y)2

4x2 - (x + y)2 = [2x + (x + y)] * [2x - (x + y)]

4x2 - (x + y)2 = [2x + x + y] * [2x - x - y]

4x2 - (x + y)2 = [3x + y] * [x - y] 

CASO 5

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

  EJEMPLOS 1

   4a4 + 8a2 b2 + 9b4

4a4 + 8a2 b2 + 9b4

      + 4a2 b2             - 4a2 b2

4a4 +12a2b2 + 9b4- 4a2b2 = (4a4 + 12a2 b2 + 9b4) - 4a2b2

 (4a4 + 12a2 b2 + 9b4) - 4a2 b2

 (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2

(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 2ab] * [(2a2 + 3b2) - 2ab]

(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 2ab] * [2a2 + 3b2 - 2ab]

4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [2a2 + 2ab + 3b2] * [2a2 – 2ab + 3b2]

CASO 6

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como

x2 + 5x + 6

a2 – 2a – 15

m2 + 5m – 14

y2 – 8y + 15

Que cumplen las condiciones siguientes:

• El coeficiente del primer término es 1

• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

• El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa

EJEMPLO  1

x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3) 

           CASO ESPECIAL DEL CASO 6

El procedimiento anterior es aplicable a la factorización de trinomio que siendo de la forma x2+bx+c difieren algo de los estudiados anteriormente.

Ejemplo:

X4-5x2-50 =

El primer término de cada factor binomio será la raíz cuadrada de X4 o sea X2

X4-5x2-50 = (X2 -  ) (X2 +  )

Buscamos dos números cuya diferencia (signos distintos en los binomios) sea 5 y cuyo producto sea 50. Esos números son 10 y 5 tendremos:

X4-5x2-50 = (X2 - 10) (X2 + 5)

EJEMPLOS 1

c2 + 5c – 24 =

c2 + 5c – 24 = (c + 8) * (c – 3)

CASO 7

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