ESTADISTICA COMPLEJA

EL TEOREMA DE CHÉBYSHEV

EL teorema de Chébyshev fue creado con el fin de demostrar cómo la desviación estándar es indicadora de la dispersión de la distribución de una variable aleatoria, si  y  son, respectivamente, la media y la desviación estándar de la variable aleatoria X, entonces para una constante positiva k cualquiera la probabilidad es cuando menos 1-1/k2 de que X tomara un valor contenido en k desviaciones estándar de la media; en la forma simbólica que se tiene.

EJEMPLO 1:

¿Cuál es el valor mínimo de k en el teorema de Chébyshev para el cual la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor entre que ,-k- y ,+k- sea:

a. Cuando menos 0,95?

b. Cuando menos 0,99?

Respuesta: Para el desarrollo de la actividad se tiene primero se tiene que halla y    √0,07 = 

a) Para hallar el valor mínimo de K cuando el valor da 0.95 Se toma la siguiente formula

PkX kdespejamos la formula quedando

k

  

b) Para hallar el valor mínimo de K cuando el valor da 0.99

k

  

EJEMPLO 2:

Sea X la variable que representa la cantidad de lluvia caída de una semana en una región determinada. Suponga que,=1,0 y -=0,25 pulgadas. ¿Sería extraño que esta región registre más de dos pulgadas de agua durante una semana? Formula

Hayamos la media y la desviación estándar 

PkX kP0,25 X 1,0

k

 

P(0,25X 

P(0,25X 

P(0,25X 

Rta: para esta región sería muy extraño que se registre más de dos pulgadas de agua durante una semana ya que posee una probabilidad del -1,10% de desfavorabilidad.

DISTRIBUCION DE POISSON

También llamado flujo de procesos de poisson la cual es distribución de probabilidad discreta útil la cual representa un número de eventos independientes. Un proceso de poisson constituye un mecanismo físico aleatoria en el cual los eventos ocurren al azar en una escala de tiempo. ג es el número promedio de ocurrencias en el intervalo de números reales donde este se define, la variable X correspondiente al número de ocurrencias en el intervalo es llamada variable aleatoria poisson y función de probabilidad dada por:

La función de masa o densidad de la distribución de Poisson es

Dónde:

K: es el número de ocurrencias del evento

ג: Es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado.

E: es la base de los logaritmos naturales

El procedimiento para su cálculo es similar al seguido en el cálculo de probabilidades acumuladas de variables aleatorias binomiales,

(1) Localice el valor de ג, indicado en la primera fila de la tabla.

(2) Identifique la columna de números que se obtienen del paso (1).

(3) Ubique el valor correspondiente de x en la primera columna.

(4) Haga coincidir o cruzar la fila que obtuvo en el paso (3) con la columna del paso (1) para obtener el valor de la probabilidad acumulada deseada.

EJERCICIOS

Si las probabilidades de tener un niño o niña son ambas 0,50 determine la probabilidad de que:

a.- la segunda niña de una familia sea la segunda hija

b.- el segundo niño de una familia sea el cuarto hijo

Desarrollo: a.- La segunda niña de una familia sea la segunda hija

x= número de hijas = 2

p = 0,5, probabilidad de que nazca niña

r = 2, sea la segunda niña.

F (2; 0.5, 2) = C (2-1,2-1) * 0.5^2-2 * 0.5^2 =

F (2; 0.5, 2) = C (1,1) * 0.5^0 * 0.5^2 =

F (2; 0.5, 2) = 1!/1!0! * 1 * 0.25 =

F (2; 0.5, 2) = 1 * 1 * 0.25 = 0.25

Respuesta: la probabilidad de que la segunda niña de una familia sea la segunda hija es del 25%

b.- el segundo niño de una familia sea el cuarto hijo

O lo que es lo mismo el cuarto hijo sea el segundo niño.

x= número de hijos = 4

p = 0,5, de que nazca niño

r = 2, sea el segundo niño.

F (4; 0.5, 2) = C (4-1,2-1) * 0.5^4-2 * 0.5^2 =

F (4; 0.5, 2) = C (3,1) * 0.5^2 * 0.5^2 =

F (4; 0.5, 2) = 3!/1!2! * 0.25 * 0.25 =

F (4; 0.5, 2) = 3 * 0.25 * 0.25 = 0.1875

Respuesta: la probabilidad de que el segundo niño de una familia sea el cuarto hijo es del 18,75%

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA Y GEOMÉTRICA.

Esta distribución puede considerarse como una extensión o ampliación de la distribución geométrica. La distribución binomial negativa es un modelo adecuado para tratar aquellos procesos en los que se repite un determinado ensayo o prueba hasta conseguir un número determinado de resultados favorables (por vez primera) .Es por tanto de gran utilidad para aquellos muestreos que procedan de esta manera. Si el número de resultados favorables buscados fuera 1 estaríamos en el caso de la distribución geométrica. Está

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