El aprendizaje de la medida en Educación Primaria

Bloque 3: MEDIDA

INTRODUCCIÓN

Las magnitudes y su medida constituyen una parte fundamental del conocimiento matemático de la Educación Primaria; por un lado debido a su aplicabilidad en diferentes campos y situaciones, y por otro, porque constituyen nociones organizadoras que ponen en relación múltiples conocimientos y son, a su vez, elementos básicos de otros conocimientos matemáticos. En la Educación Primaria se introducen las ideas de magnitud y medida y se desarrollan sistemas de medidas convencionales como el Sistema Métrico Decimal, aspectos de medidas angulares y de tiempo. En esta etapa educativa no se aborda la posibilidad de utilizar con agilidad fórmulas que permitan el cálculo por medios indirectos de medidas de longitud, superficie y volumen; en cualquier caso, se trata más que de aplicar fórmulas, facilitar situaciones en las que los alumnos pongan en juego las nociones de longitud, amplitud, capacidad, masa, tiempo, dinero, superficie y volumen.

Debemos resaltar que en el tratamiento de la medida se conjugan dos aspectos complementarios: la magnitud y la medida de la magnitud para lo que es necesario utilizar conocimientos y destrezas del campo numérico y geométrico, entre otros. Se debe prestar atención a ambos aspectos tanto en el caso de las magnitudes lineales: longitud, amplitud, masa, tiempo y dinero, como en el trabajo inicial de las de superficie y volumen, aunque éstas por su especial dificultad tienen aquí un tratamiento limitado que se completa posteriormente en la ESO.

Enseñanza y aprendizaje de la medida según Piaget

J. Piaget fue el primer investigador de la época moderna que se interesó por analizar los procesos de aprendizaje de la medida de magnitudes y elaboró un modelo teórico para explicar dichos procesos. Con posterioridad, se han publicado numerosas investigaciones dirigidas a verificar la validez de las propuestas de Piaget. Mientras buena parte de estas publicaciones concluyen que las teorías de Piaget se confirman y que los test diseñados por Piaget son válidos, hay también numerosas publicaciones que critican las propuestas de Piaget y proponen variantes o alternativas. Más recientemente han surgido diferentes modelos elaborados por otros investigadores para explicar estos procesos de aprendizaje, algunos coherentes con el de Piaget, como el constructivismo, y otros divergentes con éste (por ejemplo Donaldson, 1978 y Siegen, Brainerd, 1983). Aunque podemos adoptar una postura alternativa al modelo de Piaget, actualmente sus propuestas siguen teniendo una importancia central en la comprensión de los procesos de aprendizaje de la medida de magnitudes por los estudiantes de Primaria y de Secundaria, si bien no suelen usarse en su versión primitiva, sino modificadas como consecuencia de la experiencia adquirida desde que Piaget las publicó. En los párrafos siguientes se resumen los principales elementos de este modelo.

Piaget identifica dos operaciones fundamentales situadas en la base de los procesos de medición de todas las magnitudes, aunque aquí nos centraremos en la longitud, la superficie y el volumen: La conservación de las medidas y la transitividad de las medidas.

• LA CONSERVACIÓN DE LAS MEDIDAS

El principio de conservación afirma que la medida de una magnitud de un objeto no cambia aunque el objeto medido sufra determinadas transformaciones o se hagan determinados cambios en el proceso de medición. Veamos algunos ejemplos.

La medida de la longitud de una varilla metálica no cambia aunque la doblemos; tampoco cambia si la empezamos a medir por un extremo en lugar de por el otro. Sin embargo sí cambia si la calentamos, debido a que se dilata por el calor.

La medida del área de una hoja de cartón no cambia aunque cortemos la hoja en varios trozos y los juntemos de otra manera sin superponerse. El volumen ocupado por una cantidad de líquido no cambia aunque cambiemos la forma del recipiente o el líquido de un recipiente a otro.

Piaget diseñó diversos tests para determinar la adquisición de la conservación de las magnitudes por los niños. Todos ellos siguen el mismo esquema:

1. Se muestran al niño dos objetos idénticos y se le pregunta si tienen o no la misma magnitud (longitud, área o volumen). Si el niño dice que no, se detiene el test.

2. Se procede a hacer un cambio en uno de los objetos de manera que se rompe la igualdad perceptiva pero no cambia la magnitud observada. Al mismo tiempo, se indica al niño que preste atención a la transformación que se está realizando.

3. Se repite la pregunta de la primera parte.

Ejemplos:

Para la conservación de la longitud, un test consiste en presentar al niño dos varillas idénticas colocadas juntas de manera que sus extremos coinciden. La transformación consiste en mover una de las varillas para que los extremos dejen de coincidir, pero de forma que siga estando paralela a la otra varilla.

Para la conservación del área un test consiste en presentar al niño dos hojas idénticas de cartulina verde, que simulan ser dos campos de hierba. En una se ponen varias casitas alineadas. En la otra se pone el mismo número de casitas pero distribuidas al azar. Se le pregunta al niño si una vaca puede comer en ambos campos la misma cantidad de hierba. Para la conservación del volumen, hay diversos test que se basan en la medición del volumen ocupado o del volumen interior (capacidad). Para el primer caso, se muestra al niño una “casa” formada por 36 cubos, con una base de 3x3 cubos y 4 cubos de altura. Se pregunta al niño si puede construir otra casa, sobre una base de 2x2 cubos, que ocupe el mismo espacio. Para el segundo caso, se usan las dos casas del test anterior cuando el niño admite que ambas tienen el mismo volumen. Se muestran al niño dos recipientes idénticos llenos de agua hasta la misma altura y se le pregunta qué pasará con la altura del agua si se sumerge una casa en uno de los recipientes. Después, se le pregunta al niño si subirá igual o no la altura del agua del otro recipiente cuando se sumerja en él la otra casa.

• LA TRANSITIVIDAD DE LAS MEDIDAS

La propiedad de la transitividad de las medidas consiste en que, si un objeto A mide lo mismo que otro objeto B y el objeto B mide lo mismo que otro objeto C, entonces el objeto A mide lo mismo que el objeto C. La transitividad se encuentra en la base de cualquier proceso de comparación de medidas en el que dicha comparación no se haga mediante superposición de los objetos sino usando una unidad de medida.

Un test empleado por Piaget para evaluar el uso de la transitividad consiste en presentar al niño dos mesas de diferentes alturas separadas por una mampara. En una de las mesas hay una torre hecha con bloques de un juego de construcción de diferentes formas y tamaños. Se pide al niño que construya “una torre igual de alta” que la otra. Para ello el niño dispone de bloques de diversas formas y tamaños.

Etapas de desarrollo de la conservación y la transitividad

 Piaget identifica diversas etapas de desarrollo en la comprensión del proceso de medición (lo cual incluye la adquisición de la conservación y la transitividad):

- ETAPA INICIAL (de comparación perceptiva directa): El niño en esta etapa no da muestras de captar la idea de conservación ni de transitividad. Si se le pide al niño que construya con bloques una torre de la misma altura que otra dada, sólo se fijará en la parte alta sin preocuparse de si las bases están a la misma altura. En cuanto a la medición los niños no miden, sino que realizan estimaciones de las medidas basándose en su percepción visual de los objetos. Los niños no hacen ningún intento de usar instrumentos de medida.

- ETAPA INTERMEDIA (de comparación directa): El inicio de esta etapa se caracteriza porque los niños empiezan a usar instrumentos de medida para comparar objetos, pero lo suelen hacer de manera incorrecta. Por ejemplo, usan una varilla para medir la altura de una torre, pero sólo prestan atención a uno de sus extremos. Por otra parte, las unidades de medida que usan deben ser mayores que los objetos; por ejemplo, para comparar las torres, usan una varilla cuya longitud es algo mayor que la altura de las torres, haciendo algún tipo de señal en la varilla para conservar la altura de la primera torre. Sin embargo, los niños no saben usar unidades de medida más pequeñas que los objetos. También es característica de la primera parte de esta etapa la comparación directa de los objetos aproximando uno al otro, por ejemplo superponiendo dos piezas de cartulina para comparar sus áreas. Al final de esta etapa los niños logran usar unidades de medida pequeñas (generalmente dedos, pies, palmos, etc.) para realizar comparaciones (surge la transitividad). Poco a poco los niños abandonan estas unidades para utilizar otras más independientes, como lápices, cartulinas rectangulares, etc.

- ETAPA FINAL (de transitividad operativa): En esta etapa, situada en el estadio de las operaciones formales, los niños utilizan razonamientos transitivos, caracterizados por el empleo de un término medio que hace de unión entre las dos mediciones que debe comparar. Además, los niños aprenden a usar unidades de medida menores que los objetos, para medir por cubrimiento, y, si la unidad es demasiado grande, aprenden a subdividirla. Esta etapa se completa cuando los niños aprenden a realizar cálculos de medida de magnitudes basándose en las dimensiones lineales.

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