Geometría Hiperbólica

NIKOLÁI LOBACHEVSKI

(1793-1856)

Matemático ruso nacido cerca de Nizhni Novgorod y fallecido en Kazan. Su padre murió cuando él era muy pequeño y su educación recayó en manos de su madre. A la edad de 20 años consiguió un puesto en la universidad de Kazan. Escribió muchas obras sobre matemática, pero su fama fundamental fue como "hereje matemático". Durante veinte siglos Euclides y su sistema geométrico habían permanecido inalterables. Estaban completamente admitidos por los geómetras. Sin embargo había en Euclides una pequeña imperfección que adquiría forma en su quinto axioma, el de las rectas paralelas. Lovachevski dio un paso gigantesco al preguntarse si dicho axioma era completamente imprescindible para construir la geometría. Así desarrolló una nueva geometría, denominada no euclideana, partiendo de que por un punto no contenido en una recta pueden trazarse al menos dos rectas paralelas a la recta dada. Publicó sus ideas en 1829. Junto a Lovachevski trabajaron en el desarrollo de estas nuevas geometrías no euclideanas, Bolyai, Gauss y Rieman. Tres cuartos de siglo después, Einstein pudo demostrar que la estructura del universo no era euclideana y que los conceptos teóricos propuestos por Lovachevski tenían una aplicación muy práctica. La recompensa obtenida por Lovachevski por su "herejía", fue el despido de su puesto de trabajo.

ALGUNOS TEOREMAS DE LA GEOMETRÍA DE LOBACHEVSKI

Teorema 1. La suma de los ángulos de cualquier triángulo e menor de 2d.

Examinemos primeramente e triángulo rectángulo ABC (figura 30). Sus lados a, b, c se exponen, respectivamente, en forma de un segmento de la perpendicular euclidiana a la recta u, de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro M y de un arco de la circunferencia euclidiana con el centro N . El ángulo C es recto. El ángulo A es igual al ángulo entre las tangentes de las circunferencias b y c en el punto A o, lo que es lo mismo, al ángulo entre los radios NA y MA de estas circunferencias. Por último, ∠ B = ∠ BNM.

Construyamos en el segmento BM, como en el diámetro, la circunferencia euclidiana q ; ésta tiene sólo un punto común B con la circunferencia c , pues su diámetro es el radio de dicha circunferencia. Por esto el punto A se encuentra fuera del círculo limitado por la circunferencia q y, por consiguiente,

∠ A = ∠ MAN < ∠ MBN.

De aquí, en virtud de la igualdad ∠ MBN + ∠ B = d, tenemos:

∠ A + ∠ B < d;

por eso ∠ A + ∠ B + ∠ C < 2 d , que es lo que se quería demostrar. Señalaremos que, con ayuda del correspondiente movimiento hiperbólico, cualquier triángulo rectángulo se puede situar de tal manera que uno de sus catetos pertenezca a la perpendicular euclidiana a la recta u; de esta manera, el método de deducción de la desigualdad que utilizamos es aplicable a cualquier triángulo rectángulo.

Si se trata de un triángulo oblicuángulo, se divide éste mediante una de sus alturas en dos triángulos rectángulos. La suma de los ángulos agudos de estos triángulos rectángulos es igual a la suma de los ángulos del triángulo oblicuángulo dado.

De aquí, tomando en consideración la desigualdad, se deduce que el teorema es válido para cualquier triángulo.

Teorema 2. La suma de los ángulos del cuadrilátero es menor de 4d.

Para la demostración es suficiente dividir diagonalmente el cuadrilátero en dos triángulos.

Teorema 3. Dos rectas divergentes tienen una, y solamente una, perpendicular común.

Supongamos que una de las rectas divergentes dadas se expone en la carta τ en forma de la perpendicular euclidiana p a la recta u en el punto M , la otra se expone en forma de la semicircunferencia euclidiana q con el centro en u y, además, p y q no tienen puntos comunes (figura 31).

Semejante disposición de dos rectas hiperbólicas divergentes en la carta τ siempre puede ser alcanzada mediante el correspondiente movimiento hiperbólico.

Tracemos desde M la tangente euclidiana MM a q y, con el radio MN , describamos desde el centro M la semicircunferencia m . Es obvio que m es una recta hiperbólica que corta tanto p como q en un ángulo recto. Por consiguiente, m representa en la carta la perpendicular común a las rectas divergentes dadas, que es la que buscamos. Dos rectas divergentes no pueden tener dos perpendiculares comunes pues, de lo contrario, existiría un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos, Cosa que contradice al teorema 2.

Teorema 4. La proyección rectangular del lado de un ángulo agudo sobre el otro lado es un segmento (y no una semirrecta como lo es en la geometría de Euclides).

La justeza del teorema es evidente en la figura, donde el segmento AB es la proyección rectangular del lado AB del ángulo agudo BAC sobre su lado AC .

En esta misma figura, el arco DE de la circunferencia euclidiana con el centro en M es la perpendicular a la recta hiperbólica AC. Esta perpendicular no se corta con la oblicua AB. Por lo tanto, la suposición que la perpendicular y la oblicua a una misma recta siempre se cortan contradice al axioma del paralelismo de Lobachevski, y es equivalente al axioma del paralelismo de Euclides.

Teorema 5. Si los tres ángulos del triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los tresángulos del triángulo A'B'C', dichos triángulos son iguales.

Admitamos lo contrario y tracemos respectivamente en los rayos AB y AC los segmentos AB 1 = A'B ', AC 1 = A'C' . Es evidente que los triángulos AB 1 C 1 y A'B'C' son iguales por dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. El punto B 1 no coincide con B , el punto C 1 no coincide con C , ya que en cualquier de estos casos tendría lugar la igualdad de los triángulos dados, cosa que contradice a lo admitido.

Examinemos las posibilidades siguientes.

1. El punto B 1 se encuentra entre A y B , y C 1 se encuentra entre A y C; en esta figura, y también en la siguiente, las recias hiperbólicas se exponen convencionalmente en forma de rectas euclidianas). No es difícil convencerse que la suma de los ángulos del cuadrilátero BCC 1 B 1 es igual a 4 d , cosa imposible en virtud del teorema 2.

2. El punto B 1 se encuentra entre A y B, y C se encuentra entre A y C 1 (figura 34). Designemos por D el punto de intersección de los segmentos BC y B 1 C 1 . Puesto que ∠ C = ∠ C ' y ∠ C '= ∠ C 1 , resulta que ∠ C = lo que es imposible, ya que el ángulo C es externo respecto

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