HIPERGEOMETRICA

En estadística, la distribución hipergeométrica es una de las distribuciones de probabilidad discreta. Esta distribución se utiliza para calcular la probabilidad de una selección aleatoria de un objeto sin repetición.

Supongamos que nos interesa el número de unidades defectuosas en una muestra de n unidades extraída de un lote que contiene N unidades, de las cuales a son defectuosas. Si la muestra se extrae de tal forma que en cada extracción sucesiva las unidades restantes en el lote tienen la misma oportunidad de ser seleccionadas, la probabilidad de que la primera extracción resulte en una unidad defectuosa es a/N, pero para la segunda extracción es: (a-1)/(N-1) a a/(N-1), dependiendo

de si la primera unidad extraída fue defectuosa o no. Así, los ensayos no son independientes, el cuarto supuesto bajo la distribución binomial no se cumple y la distribución binomial no se aplica. Nótese que la distribución binomial se aplicaría si hiciéramos una muestra con reemplazo; es decir, si cada unidad seleccionada para la muestra fuera reemplazada (vuelta a colocar en su sitio) antes de extraer la siguiente.

Para resolver el problema del muestreo sin reemplazo (esto es, como formulamos originalmente el problema), procedamos como sigue: los x éxitos y n – x fracasos pueden seleccionarse (■(a@x)) maneras, los n – x fracasos (no defectuosas) pueden seleccionarse de (C■(N-a@n-x)) maneras y, en consecuencia, los x éxitos y n – x fracasos pueden seleccionarse de (C■(a@x)) (C■(N-a@n-x )) maneras. Asimismo, n objetos pueden elegirse de un conjunto de N objetos de (C■(N@n)) maneras, y si consideramos todas estas posibilidades como igualmente probables, de ello se desprende que para el muestreo sin reemplazo la probabilidad de obtener “x éxitos en n ensayos” es:

■(h(x;n,a,N)= (C■(a@x))(C■(N-a@n-x))/((C■(N@n)) ))

Para x = 0,1,…, n

Donde x no puede exceder de a y n – x no puede exceder de N – a. Esta ecuación define la distribución hipergeométrica, cuyos parámetros son el tamaño de la muestra n, el tamaño del lote (o tamaño de la población) N y el número de “éxitos” en el lote a.

Ejemplo:

Un embarque de 20 grabadoras contiene 5 defectuosas. Si 10 de ellas se eligen al azar para su inspección, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de las 10 sean defectuosas?

Sol.

Sustituyendo x=2, n=10, a=5 y N=20 en la fórmula de la distribución hipergeometrica, obtenemos

h(2;10,5,20) = (5C2) (15C8) 10 . 6,435

___________ = _________ = 0.348 = 34.8 %

(20C10) 184,756

La probabilidad de que 2 de la grabadoras sean defectuosas es del 34,8%.

Media y varianza de la distribución hipergeométrica

Media

μ=na/N

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