III.- INFERENCIA ESTADISTICA

UNIDAD III.- INFERENCIA ESTADISTICA

3.1.1. Distribución Muestreo de la Media

Si X₁, X₂,…, Xη, representan una muestra aleatoria de tamaño n entonces la media de la muestra se define mediante el estadístico:

×=(∑_(i=0)^n▒〖×i〗)/n

Estadístico: Es la medida de una característica relativa a una muestra. El valor promedio de los datos y la imagen de los datos son ejemplos de tales medidas. La mayoría de los estadísticos muéstrales se encuentran por medio de una formula y suelen serles asignados nombres simbólicos.

Varianza: Si X₁, X₂,…, Xη, representan una muestra de tamaño n, entonces la varianza de la muestra se define con el estadístico.

δ²=(∑_(i=0)^n▒〖(xi-x)〗)/(n-1)

Y la desviación estándar como:

δ=√δ²

Distribución de Probabilidad: La distribución de la probabilidad de un estadístico se llama distribución muestral. Depende del tamaño de la población del tamaño de las muestras y el método de elección de las muestras.

La distribución de probabilidad de X se llama Distribución Muestral de la Media esta distribución describe la variabilidad de los promedios muéstrales alrededor de la media de la población.

Suponga que una muestra aleatoria de n observaciones se toma de una población normal con μ y σ². Cada observación Xi= con i=1,2, …, n de la muestra aleatoria tendrá entonces la misma distribución normal de la población que se muestrea.

Parámetros

Población Muestra

Estadísticos

μ ×

σ² δ²

σ δ

Luego × tiene una distribución normal con media μ× igual a (×1+×2+⋯×n)/n=μ. Y varianza δ²×=σ²/n. Y error estándar σ²×=√(σ²×).

3.1.2 El Error Estándar de la Media

La distribución de la medias muéstrales también tienen una varianza. La varianza en las medias muéstrales es como cualquier otra varianza. Mide la dispersión de las observaciones individualmente (medias muéstrales) alrededor de su media (media poblacional).

La varianza de la distribución muestral de la medias muestral es:

σ ²/×=(∑▒〖(×-μ×)²〗)/k

K= Numero de muestras.

El error estándar de la distribución muestral es una medida de la dispersión de las medias muéstrales alrededor de μ. Es análogo con la desviación estándar que ya sabemos calcular, la cual media la dispersión de las observaciones individuales alrededor de su media. Debido a que la diferencia entre ×y μ es el error de muestreo toda medida de la tendencia de la media muestral al desviarse de μ se le denomina acertadamente Error Estándar y se calcula con:

σ×=√(σ ²/×)≈σ/√n

Ejemplos

1.- las ventas en miles de dólares para East Coast Manufacturing (ECM) durante los últimos 5 meses fueron de 68, 73, 65, 80 y 12. Asumiendo que estos 5 meses constituyen la población, la media claramente es μ=71.6. Como director de marketing de ECM se claramente que el error de muestreo que es probablemente que ocurra sea relativamente pequeño:

Encuentre la distribución muestral de × para n=3.

Calcule la media de la distribución muestral.

Calcular la varianza y del error estándar de la distribución muestral.

2.- Una población de las producciones semanales de una fabrica en miles de toneladas es 200, 250, 150, 200 y 300 realice una distribución muestral y calcule μ× y σ× para las muestras de tamaño n=2. ¿Qué pasaría con sigma barra si n es igual a 3?

3.1.3. Teorema de Limite Central

De acuerdo a lo visto anteriormente es evidente que es posible tomar muchas muestral de tamaño dado de cualquier población.

Estas muestras dan pie a toda una distribución de medias muéstrales. Si la población original está distribuida normalmente la distribución de las medias muéstrales también estará distribuida normalmente. Es decir que todas las medias muéstrales se graficaran como una distribución normal.

¿Cómo sería la distribución de las medias muéstrales si la población original no está distribuida normalmente? La respuesta la proporciona el teorema de límite central. Dicho teorema dice que para una población cualquiera a medida que n aumenta la distribución de las medias muéstrales se aproxima a una distribución normal con media ×=μ y error estándar σ×=σ/√n.

Teorema de Límite Central: Si × es la media de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con media μ y varianza finita σ² entonces la forma limite de la distribución de Z=(×-μ)/(σ/√n) conforme n se vuelve más grande (n=∞) es la distribución normal estándar.

Por tanto, incluso si la población no está distribuida normalmente la distribución de muestre de las medias muéstrales será normal si n es lo suficientemente grande.

La regla general es que si n es por lo menos 30 el teorema de limite central asegurara una distribución normal en las medias muéstrales incluso si la población no es normal.

Recordemos que muchas decisiones se toman con base en los resultados muéstrales. Generalmente las muestras tienen un impacto muy directo y consecuencial en las decisiones que se tomen.

Una aplicación muy común y de gran utilidad en una distribución muestral es la de determinar la probabilidad de que una media muestral clasifique dentro de un rango dado.

Ejemplo

1.- Tel Com desea encontrar la probabilidad de que una sola llamada dure entre 150 y 155 segundos. Con μ=150 y σ=15. También desea conocer las probabilidad de que una muestra de 50 llamadas este entre 150 y 155 segundos.

2.- TelCom planea instalar nuevos equipos que mejorarían la eficiencia de sus operaciones de sus operaciones. Sin embargo ates que los ejecutivos puedan decidir si dicha inversión será eficaz en función de los costos, deben determinar la probabilidad de que la media de una muestra n=35.

Este entre 145 y 150 seg.

Sea mayor que 145 seg.

Sea menor que 155 seg.

Este entre 145 y 155 seg.

Sea mayor que 155 seg.

3.2.1 El Proceso de Inferencia Estadística

La teoría de inferencia estadística consiste en aquellos métodos por los que se realizan inferencias o generalizaciones acerca de una población.

La inferencia estadística se puede dividir en dos áreas principales: estimación y pruebas de hipótesis.

Ejemplos para distinguir claramente las dos áreas.

Un candidato a `un puesto público puede desear estimar la verdadera proporción de votantes que lo favorecerán mediante la obtención de las opiniones de una muestra aleatoria de 100 votantes. La función de votantes en la muestra que favorecerán al candidato se podría utilizar como una estimación de la verdadera proporción en la población votante. El conocimiento de la distribución muestral de una población nos permite establecer el grado de precisión de nuestra estimación. Este problema cae en el área de la estimación.

Consideremos ahora el caso en el que se está interesado en encontrar si la marca A de ceras para piso es más resistente al desgaste que la marca B. se puede plantear la hipótesis de que la marca A es la mejor, y después de la prueba apropiada, aceptar o rechazar esta hipótesis. En este ejemplo no interesamos estimar un parámetro sino que tratamos de llegar a una decisión correcta acerca de una hipótesis preestablecida.

3.2.2 Las Características de un Estimador

Las poblaciones son generalmente muy grandes como para ser estimadas en su totalidad. Su tamaño requiere que se seleccionen muestras, las cuales se pueden utilizar más tarde para hacer inferencias sobre las poblaciones.

Hay por lo menos dos tipos de estimadores que se utilizan más comúnmente para este propósito: un estimador puntual (eficiente) y un estimador de intervalo.

Un Estimador Puntual: Utiliza un estadístico para estimar el parámetro en un solo valor o punto.

Ejemplo: el gerente de una tienda puede seleccionar una muestra de n= 500 clientes y hallar el gasto promedio durante el año anterior de X ̅ = $37.10. Este valor sirve como una estimación puntual para la media poblacional.

Una Estimación por Intervalo: Especifica el rango dentro del cual está el parámetro desconocido.

Ejemplo

1.- El gerente puede decidir que la media poblacional está en algún sitio entre $35 y $38. Tal intervalo con frecuencia va acompañado de una afirmación sobre el nivel de confianza que se da en su exactitud. Por tanto se llama intervalo de confianza.

Estimador: Un estimador puntual utiliza un número único o valor para localizar una estimación del parámetro, un intervalo de confianza denota un rango dentro del cual puede encontrarse el parámetro y el nivel de confianza que el intervalo contiene del parámetro.

Liego podemos decir que los estadísticos muéstrales como la media X ̅, desviación estándar S, la varianza S2, etc. Sirven como estimadores puntuales de sus correspondientes parámetros.

Parámetros

X ̅ = μ

S2 = σ^2

S = σ

Propiedades de un Buen Estimador Puntual (Insesgadez, Eficiencia, Consistencia)

Generalizando usemos las siguientes notaciones:

θ= parámetro poblacional de intereses

θ ̂= estadístico muestral o estimador puntual de θ

{ θ Es la letra griega theta y θ ̂ se lee theta sombrero}

Insesgadez: Si el valor esperado del estadístico muestral es igual al parámetro poblacional que se estudia, se dice que el estadístico muestral es un estimador insesgado de parámetro poblacional. E (θ ̂= θ).

Por tanto el

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