INFERENCIA EN DOS POBLACIONES

PROPUESTA DE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PARA APROBACIÓN DEL MÓDULO DE MÉTODOS ESTADÍSTICOS

Tema: INFERENCIA EN DOS POBLACIONES.

Desarrollo de la Temática del Trabajo de Investigación.

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PARA APROBACIÓN DEL MÓDULO DE MÉTODOS ESTADÍSTICOS

Tema: INFERENCIA EN DOS POBLACIONES.

Desarrollo de la Temática del Trabajo de Investigación.

Marco teórico.

Marco teórico.

Estimación estadística para muestras independientes, grandes muestras.

Aquí el interés está en estimar la diferencia entre dos medias poblacionales (U1 –U2) está formada por la diferencia entre las dos medias muéstrales〖(x ̅〗_1-x ̅_2) ya que muchas muestras diferentes pueden tomarse de cada población resulta toda una distribución de diferencias de estas medias muéstrales si tanto 〖〖(n〗_1 ,n〗_(2)) son grandes, la distribución de las diferencias entre las medias muéstrales 〖(x ̅〗_1-x ̅_2) es una distribución normal centrada en (U1 –U2).

Dada esta distribución de las diferencias entre medias muéstrales la distribución normal Z puede utilizarse para construir el intervalo . El procedimiento es muy parecido para una sola población Utilizando 〖(x ̅〗_1-x ̅_2) donde la estimación puntual de la diferencia entre las dos medias poblacionales se aplica un multiplicador de confianza para buscar los limites superior del inferior del intervalo

ICPARA (U1 –U2)= 〖(x ̅〗_1-x ̅_2)±Zσ_(x ̅1-(x ) ̅2)

En donde σ_(x ̅1-(x ) ̅2) es el error estándar de las diferencias entre las medias muéstrales. De la misma manera que con cualquier error estándar σ_(x ̅1-(x ) ̅2) mide la tendencia que tienen las diferencias entre las medidas muéstrales a variar

Se tiene que:

Error estándar de las diferencias σ_(x ̅1-(x ) ̅2)=√((σ_1^2)/n_1 )+(σ_2^2)/n_2

Entre medias muéstrales

En donde σ_1^2 y σ_2^2 son las dos variancias poblacionales. En el evento probable que σ_1^2 y σ_2^2 sean desconocidas, deben utilizarse las varianzas muéstrales s_1^2 y s_2^2. El estimado del error estándar se vuelve entonces.

Estimación del error estándar s_(x ̅1-(x ) ̅2)=√((s_1^2)/n_1 )+(s_2^2)/n_2

De la diferencia entre medias muéstrales

El intervalo para la diferencia en las medias muéstrales es entonces

Intervalo de confianza cuando

Las varianzas poblacionales ICPARA (U1 –U2)= 〖(x ̅〗_1-x ̅_2)±Zσ_(x ̅1-(x ) ̅2)

Son desconocidas

Vale la pena destacar que no se está interesado en el valor de cualquiera de las medidas poblacionales, sino solamente en la diferencia que existe entre las dos medidas poblacionales.

Estimación estadística para la diferencia de la media poblacional en dos poblaciones independientes, muestras pequeñas, con varianza desconocida y suposición de igualdad.

Si cualquier muestra es pequeña (menor que 30), no se puede asumir que la distribución de las diferencias en las medias muéstrales (Suposición de que las varianzas σ_1^2 = σ_2^2 son iguales pero desconocidas 〖(x ̅〗_1-x ̅_2) se ajusta a una distribución normal. Por lo tanto, no puede utilizarse la desviación normal Z. Si

Las poblaciones están distribuidas normalmente o distribuidas casi normalmente, y

Las varianzas poblacionales son desconocidas.

Se debe regresar a la distribución t.

Para aplicar adecuadamente la distribución t, también se debe determinar si las varianzas de las dos poblaciones son iguales ¿Cómo se puede asumir que tales varianzas son iguales si, como se anoto anteriormente no se sabe cuáles son? Muchos procesos de la líneas de ensamblaje utilizan maquinas para llenar los contenedores tales como latas, botellas y cajas. Cuando se ajustan periódicamente las maquinas para garantizar la operación adecuada, se asume que el nivel de contenido promedio a variado pero no se conoce la varianza en los niveles de contenido antes y después del ajuste; aunque sean desconocidas, siguen sin cambio alguno:

Suposición de que las varianzas σ_1^2 = σ_2^2 son iguales pero desconocidas. Si las varianzas de las dos poblaciones son iguales, existe alguna varianza σ^2 común a ambas poblaciones. Es decir σ_1^2 = σ_2^2 = σ^2. Sin embargo, debido al error de muestreo, si se toma una muestra de cada población, las dos varianzas de la muestra probablemente diferirán una de la otra así como de la varianza común σ^2. Pero debido a que las poblaciones tienen una varianza común, los datos de ambas muestras pueden mancomunarse (pooled) para obtener un solo estimado de σ^2. Esto se hace calculando el promedio calculando el promedio ponderado de las dos varianzas de la muestra, en donde los pesos son los grados de libertad n-1 para cada muestra. Esta estimación mancomunada (pooled estímate) de la varianza poblacional común s_p^2 es:

Estimado mancomunado de la varianza s_p^2 = (s_1^2 (n_(1-) 1) + s_2^2 (n_2 - 1))/(n_(1+ ) n_2- 2)

Común a ambas poblaciones

El intervalo de confianza para la diferencia entre las dos medias poblacionales se halla entonces con una distribución t con n_(1+ ) n_2 – 2 grados de libertad.

Intervalo para la diferencia entre

Medias poblacionales cuando I.C. para ( u_1 - u_2 ) = 〖(x ̅〗_1-x ̅_2) ± t √(( s_1^2)/n_1 )+(s_2^2)/n_2

σ_1^2 = σ_2^2 desconocidas

Estimación estadística para la diferencia de la media poblacional en dos poblaciones independientes, muestras pequeñas, con varianza desconocida y suposición de desigualdad.

Varianzas desiguales. Si las varianzas de la población son desiguales o no existe evidencia para asumir una igualdad, los procedimientos descritos anteriormente no se aplican directamente porque la distribución de las diferencias entre las medias muéstrales no se ajustan a una distribución t con n_(1+ ) n_2- 2 g.l. De hecho, no se ha encontrado que una distribución exacta describa este proceso de muestreo, y solo se han desarrollado aproximaciones. Se ha propuesto una aproximación tal que utilice el estadístico t con g.l. levemente alterados. En el evento que σ_1^2 ≠ σ_2^2, se encuentra que los grados de libertad son

Grados de libertad cuando

La varianzas poblacionales g.l.= (〖 (s〗_1^2/n_(1 +) s_2^2/n_2 )^2)/(〖 (s〗_(1/n_(1 ))^2 )^2 〖/(n_(1-) 1 ) + (s〗_2^2/n_2 〖)^2 (n_(2-) 1 〗^) )

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