Inecuaciones y muchas cosas mas

Definición de Inecuaciones Lineales

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.  Si la desigualdad es del tipo [pic 1] o [pic 2] se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo [pic 3] o [pic 4] se denomina inecuación en sentido amplio.3

Del mismo modo en que se hace la diferencia entre igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todos las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.4 Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

• Ejemplo de inecuación incondicional: [pic 5].
• Ejemplo de inecuación condicional: [pic 6]

CLASIFICACIÓN

Los criterios más comunes de clasificación de las inecuaciones son:

• Según el número de incógnitas,

• De una incógnita. Ejemplo: [pic 7].
• De dos incógnitas. Ejemplo: [pic 8].
• De tres incógnitas. Ejemplo: [pic 9].
• etc.

• Según la potencia de la incógnita,

• De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: [pic 10].
• De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: [pic 11].
• De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: [pic 12].
• etc.

Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):

• [pic 13]
• [pic 14]
• [pic 15]
• [pic 16]

SISTEMA DE INECUACIONES

[pic 17]

[pic 18]

La región de viabilidad en un problema de programación lineal está definida por un sistema de inecuaciones.

En un sistema de inecuaciones intervienen dos o más inecuaciones. No todos los sistemas de inecuaciones tienen solución.

Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita

Es un conjunto de inecuaciones de primer grado con la misma variable:

[pic 19]

Inecuaciones cuadráticas

Inecuaciones cuadráticas. Inecuaciones cuadráticas o de segundo grado son desigualdades donde la variable de mayor exponente tiene grado dos (2).

Definición

Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable tiene exponente 2 y es en su forma general de una de las formas siguientes ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c ; 0, también puede tener el signo de desigualdad (d≥ bx + c), pero se puede llevar a una de las formas anteriores haciendo transformaciones equivalentes.

Ejemplo de inecuación cuadrática

x2 + 2x < 15 y 4x2 ≥ 12x -9

Sugerencias para resolver inecuaciones cuadráticas

1. Escribe la inecuación en su forma general, es decir comparada con cero.
2. Halla los ceros de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0  (Por Descomposición en factores o por la fórmula del discriminante). Si el Discriminantees menor que cero la solución es todos los reales o no tiene solución, dependiendo de la desigualdad y del signo de ¨a¨.
3. Representa esos ceros en una Recta numérica.
4. Analiza el signo de ese Trinomio en los Intervalos determinados por los ceros,  evaluando el Polinomio en valores cómodos de esos intervalos o ubicando los signos de derecha a izquierda (Si a>0 comienza con el signo más y alternando menos y luego más, si a < 0 comienza con menos y de igual forma alterna, el siguiente gráfico hace referencia en caso de ¨ a ¨ positivo).
5. Escribe la solución en notación de intervalo, teniendo en cuenta que si la desigualdad es estricta los ceros no se incluyen y en caso contrario se incluyen en la solución.

Nota importante: Después de comparar con cero se obtiene una Función cuadrática y por eso es que se buscan sus ceros y se hace el análisis de los signos de dicha función en esos Intervalos, ya que la función cuadrática representa una Parábola que puede abrir hacia arriba o hacia abajo según el signo de a. Gráfico de una parábola

Ejemplo resuelto

Halla la solución de la siguiente inecuación cuadrática.

1) x2 – 2x > 3

Respuesta.

1. x2 – 2x – 3 > 0

x2 – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x+1) = 0 x = -1 ó x = 3

Rta. x Real: x > 3 ó x < -1 También se puede dar la respuesta en forma de intervalo

S = ]-∞, -1[ U ] 3,+∞[

Ejercicios propuestos

Halla la solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas y representarla en la recta numérica.

• 6x2 + 7x ≤ 3
• x2 – 2x – 80
• x2 + 5x - 6 ≥ 0
• x2 – 7x ≤ -6

5 INECUACIONES‎  ‎

5.3 INECUACIONES RACIONALES

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