“Integración por el método de fracciones parciales”

INTRODUCCION

Este método nos permitirá  integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de polinomios). Consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado.

Se utiliza principalmente en cálculo integral, el requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

“Integración por el método de fracciones parciales”

A manera de ilustración consideremos la siguiente integral:  

[pic 1]

Nosotros difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos que disponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios:

[pic 2]

Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos:

+ x + 3 = (x - 2) (x + 3 ) + 9  [pic 3]

Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar, dividimos en ambos lados entre  (x - 2):  

[pic 4]

Descomponiendo de esta manera nuestra fracción "complicada" en una suma de fracciones "sencillas" a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.

[pic 5]

Se reduce a calcular la integral de un polinomio q(x) y la integral de una función racional en la cual el numerador tiene grado menos que el denominador.

Ejemplo 1.  Calcular            

[pic 6]

Solución: 

En este ejemplo Q(x) = x2 -16 = (x-4) (x+4).

La descomposición en fracciones parciales sería:

[pic 7]

En la que bastará determinar las dos constantes A y B para poder encontrar nuestra integral.

Procedimos a la determinación de las constantes, efectuando la suma del lado derecho:

[pic 8]

Observamos que la primera y la última fracción son iguales y tienen el mismo denominador, por lo que sus numeradores forzosamente son iguales, es decir:  

1 = x(A+B) + (4B-4A)  o bien    0x +1 = x(A+B) + (4B-4A)

De donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:  

A+B = 0                                4B -4A = 1  

Que resolviéndolo nos queda  

4A+4B = 0  

4B -4A = 1  [pic 9]

8B = 1  

Por lo que B = 1/8, y sustituyendo en la primera ecuación, A = -B = -1/8.

Una vez determinadas nuestras constantes A  y  B, las sustituimos en la descomposición inicial, obteniendo:

  [pic 10]

Quedando finalmente la integración:

[pic 11]

Ejemplo 2.  Calcular  

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