Integrales Trigonométricas

Integrales trigonométricas

Una integral se denomina trigonométrica cuando la misma está compuesta de funciones trigonométricas y constantes. Para su resolución desde luego que son válidos los teoremas de integración.

En general se deben aplicar las siguientes sugerencias:

Usar una integral trigonométrica y simplificar, es útil cuando se presentan funciones trigonométricas.

Eliminar una raíz cuadrada, se presentan normalmente después de completar un cuadrado o una sustitución trigonométrica

Reducir una fracción impropia.

Separar los elementos del numerador de una fracción entre el denominador de la fracción

Multiplicar por una forma unitaria G(x)/G(x) que al multiplicar por el integrando F(x) permite modificar adecuadamente (F(x),G(x))/G(x)

Probar sustituir F(x) por 1/(1/f(x).

Para una mejor comprensión este tipo de integral se han separados en casos:

Caso # 1

Para integrales ∫▒〖〖sen〗^n x dx o 〗 ∫▒〖〖cos〗^n x〗 dx

Siendo n un número impar (n=2k+1/kEZ)

Se produce separando la función de tal manera que se pueda realizar cualquiera de estas sustituciones: 〖sen〗^2 x=1-〖cos〗^2 x ó 〖cos〗^2x = 1 - 〖sen〗^2x

Luego se efectúa un cambio de variable

U= senx ó U= cosx

Du= cosx dx Du= -senx dx

Ejemplo # 1

∫▒〖〖sen〗^3 x dx= ∫▒〖senx . 〖sen〗^2 x dx 〗〗

= ∫▒〖senx . (1-〖cos〗^2 x)dx 〗

=∫▒〖(senx-senx . 〖cos〗^2 x)dx 〗

=∫▒〖senx dx- ∫▒〖senx . 〖cos〗^2 x dx 〗〗

= - cosx – ∫▒〖senx . 〖cos〗^2 x dx 〗

C.V [█(u=cosx@du= -senx dx@-du=senx dx )]

= - cosx -∫▒〖u^2 . (-du) 〗

= - cosx + ∫▒〖u^2 du 〗

= - cosx + u^3/(3 )+c

= -cosx + (〖cos〗^3 x)/3+c

Caso # 2

∫▒〖〖sen〗^n x dx〗 ó ∫▒〖〖cos〗^(n ) x dx 〗

Siendo n un número par (n= 2k/ kEZ)

Se utilizan las identidades de ángulos dobles:

〖cos〗^(2 ) x= (1+cos2x)/2 ó 〖sen〗^2 x= (1-cos2x)/2

Utilizando luego un cambio de variable.

Ejemplo # 2

∫▒〖〖cos〗^2 x〗 dx= ∫▒((1+cos2x)/2) dx

=∫▒〖1/2 dx+ ∫▒1/2 cos2x dx 〗

=1/2 ∫▒〖dx+ 1/2 ∫▒〖cos2x dx 〗〗 C.V{█(u=2x@du=2dx@du/2=dx)}

=1/2 .x+ 1/2 ∫▒〖cosu . du/2〗

=X/2+ 1/4 senu+c (devolvemos el cambio de variable)

=x/2+ 1/4 sen2x+c

Caso # 3

∫▒〖〖sen〗^3 x〗 .〖cos〗^2 x dx= ∫▒〖senx . 〖sen 〗^2 x . 〖cos〗^2 x dx 〗

= ∫▒〖senx . (1-〖cos〗^2 x). 〖cos〗^2 x〗 dx

=∫▒〖senx . 〖cos〗^2

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