Medidas De Tendencia Central

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Las medidas de tendencia central también llamadas de centralización o de tendencia central. Sirven para estudiar las características de los valores centrales de la distribución atendiendo a distintos criterios. Veamos su significado con un ejemplo:

Supongamos que queremos describir de una forma breve y precisa los resultados obtenidos por un conjunto de alumnos en un cierto examen; diríamos:

a) La nota media de la clase es de 6,5.

b) La mitad de los alumnos han obtenido una nota inferior a 5.

c) La nota que más veces se repite es el 4,5.

En la expresión a) se utiliza como medida la media aritmética o simplemente la media.

En la b) se emplea como medida la mediana, que es el valor promedio que deja por debajo de ella la mitad de las notas y por encima de ella la otra mitad. Y en la c) se usa el valor de la nota que más veces se ha repetido en ese examen, este valor es la moda.

DESARROLLO

MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA PARA UNA SERIE SIMPLE

Media aritmética para una serie de datos simple: Es la suma de todos los elementos de la serie dividida por el número de ellos. Se calcula como:

siendo:

: media aritmética

: suma de elementos

n : número de elementos (incluyendo a los de igual valor)

Ejemplo:

1. Hallar la media aritmética de los siguientes valores: 5, 7, 8, 10, 15.

= 5 + 7 + 8 + 10 + 15 = 45

n = 5

, la media es 9.

Ahora intenta resolver los siguientes ejercicios.

2. Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de un curso durante una evaluación fueron: 7. 5, 6.5, 3.7, 5, 6.2. Hallar la nota media de la evaluación. (Resp. 5,5666...)

3. La media de 6 elementos se sabe que es 10. Sabiendo que cinco de ellos son: 8, 12, 13, 5 y 9, hallar el elemento que falta. (Resp. 13)

Media aritmética ponderada: Por lo general, en Estadística, los datos se nos presentan agrupados mediante una distribución de frecuencias que hace que no todos los elementos de la serie tengan el mismo peso específico, y eso influye a la hora de calcular la media, por eso se llama media ponderada.

Se define como la suma de los productos de cada elemento de la serie por su frecuencia respectiva, dividida por el número de elementos de la serie.

donde f es la frecuencia o número de veces que se repite un valor.

Ejemplos:

1. Durante el mes de octubre de 1981 los salarios recibidos por un obrero fueron:

Salario en pesos Frecuencia en días

200.000 5

220.000 15

300.000 4

Hallar el salario medio durante ese mes.

Es tu turno resuelve el numeral 2 y 3.

2. Un alumno obtiene en tres exámenes parciales las siguientes notas: 7, 5 y 3; en el examen final consigue un 6. Suponiendo que esta nota final tenga doble valor que las parciales, ¿cuál será su nota media? (Resp. 5,4)

3. Si la renta anual media de los trabajadores del campo es de 1.000.000 de pesos y la renta anual media de los trabajadores de la construcción en esa población es de 1.200.000 pesos, ¿sería la renta anual media para ambos grupos de 1.100.100 pesos? Explica.

MEDIANA

Una vez dispuestos todos los valores que toma la variable en una serie creciente o decreciente, el valor central de esa serie, si existe, es la mediana. Así pues, la mediana deja el mismo número de valores a su izquierda como a su derecha. Cuando no existe un valor central se puede definir como la media aritmética de los valores medios.

Para su cálculo distinguiremos dos casos:

a) Mediana de una serie con datos no agrupados.

b) Mediana de una serie con datos agrupados por frecuencias y agrupados en intervalos.

.

Para calcular la mediana con datos no agrupados se ordenan los elementos en orden creciente o decreciente, y la mediana es el valor que ocupa el lugar , es decir el valor que se encuentra justo en el centro. La mediana se simboliza por Md.

Ejemplos: Determinar la mediana de la serie:

a) 5, 6, 9, 11, 15, 19, 23, 26, 27.

Si los datos no están ordenados se ordenan. En este caso ya están ordenados.

5, 6, 9, 11, 15, 19, 23, 26, 27

El valor que está en el centro es 15 por tanto Md=15

b) Sea ahora la serie: 3, 4, 4, 5, 6, 8 donde el número de elementos de la serie es par

Vemos que los valores centrales son dos 4 y 5. Entonces la mediana se obtiene sacando la media aritmética de los valores centrales.

Md= 4+5 = 4.5

2

De la misma forma determina la mediana de

c) 5, 6, 8, 8, 8, 8, 10, 12, 13. (Resp. 8,125)

d) 5, 7, 10, 15, 20, 21, 24, 27.

MODA

La moda de una serie de números es el valor que se presenta con mayor frecuencia; es decir, el que se repite un mayor número de veces. Es por tanto, el valor común.

Por ejemplo, en la serie: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, la moda es 5.

En una distribución puede ocurrir que haya dos o más modas, entonces se habla de distribución bimodal, trimodal, etc. Incluso puede no existir la moda, como en la serie 2, 3, 4, 5, 7, 10.

FINAL

Resolver los ejercicios: Ejercicio 1

Libro de texto: Página 207

MEDIA ARITMÉTICA, MEDIANA Y MODA PARA UNA SERIE DATOS AGRUPADOS

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Cuando hablamos de una serie de datos agrupados nos referimos específicamente a una distribución de clases y frecuencias.

DESARROLLO

Cálculo de la media aritmética a partir de datos agrupados en clases.

Método directo

Consiste en aplicar la fórmula ya vista para el cálculo de la media ponderada, con la única salvedad de que se toman como valores representativos de la variable los puntos medios de cada intervalo, que se

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