Modelos de distriubucion Ingeniería en Sistemas Productivos

Titulo:

Modelos de Distribución Probabilísticos

Carrera: Procesos Industriales en Manufactura VII /

Ingeniería en Sistemas Productivos

Materia: Estadística Aplicada a la Ingeniería

Fecha: 21/Septiembre/2015

Distribución Normal

Es una de las distribuciones más importantes. Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal.  Esta distribución se caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución.  

Las ventajas teóricas de este modelo hacen que su uso se generalice en las aplicaciones reales.

Sea X una variable aleatoria continúa, se dice que se distribuye como una normal:[pic 2]

Donde se verifica que, − ∞ < x < + ∞, μ. Es el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss), y σ es cualquier valor entre –∞ y +∞,  si su función de densidad viene dada por:

[pic 3]

Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1, se denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas, o rutinas de cálculo que permiten obtener esos mismos valores, donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución. Es se verá con más detalle en el siguiente apartado.

Propiedades:

• Tiene un parámetro que es la media E [X] = μ.
• Tiene otro parámetro que nos da la dispersión. V [X] = σ². 
• La media, la moda y la mediana coinciden.
• Es una función simétrica respecto a la media, como se puede ver en el gráfico.

[pic 4]

• Si definimos la variable Y = a X + b, donde X se distribuye como una normal de parámetros X → N (μ, σ); entonces:  

[pic 5]

• Sean dos variables aleatorias normales que se distribuyen X₁ → N (μ₁, σ₁), y X₂ → N  (σ₂, μ₂), se define una nueva variable de la forma  Y = X₁ + X₂, entonces esta nueva variable se distribuye como:

[pic 6]

Ejemplo de Distribución Normal

El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de 5 días y desviación típica 1 día. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días.

t1 = -∞  y  t2 = (7 -5)/1 = 2

En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a un tiempo inferior a 7 días.). Esta probabilidad es 0,9772. Por lo tanto, el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días es del 97,7%.

Distribución Binomial

Es una extensión de la distribución de Bernouilli. Supongamos que se repite un experimento “n” veces de forma idéntica e independiente. Los resultados de cada realización del experimento se clasifican en dos categorías (como en el caso de Bernouilli), una será la probabilidad de éxito p, y otra q=1-p, la de fracaso.

Así, por tanto, sea X una variable aleatoria discreta, se dice que se distribuye como una distribución binomial de parámetros (n, p). Siempre se debe de verificar que n>1 y que p tome valores entre 0 y 1.

La función de probabilidad viene dada por la expresión:

[pic 7]

Además, es fácil de comprobar que se verifica que E [x] = np y que V [x] = np (1 – p) = npq.

Su función de distribución es:

[pic 8] 

Propiedades de la distribución Binomial:

1. La distribución Binomial se puede obtener como suma de n variables aleatorias independientes Bernouilli con el mismo parámetro “p”.

1. Si tenemos dos variables aleatorias que se distribuyen según una Binomial con el mismo parámetro “p”, es decir, con la misma probabilidad de éxito, X → B (n, p) e Y → B (m, p) entonces siempre se verifica

[pic 9]

Si no tienen la misma probabilidad no se pueden sumar.

1. Sea X una variable aleatoria e Y otra variable aleatoria que verifican que

X → B (n, p) e Y=X/n, entonces se verifica

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