PROBABILIDAD EN HIDROLOGÍA

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN HIDROLOGÍA

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El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayuda de Distribuciones de Probabilidad. La variable se designa por mayúscula y un valor específico de ella por minúscula.

Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a; similarmente P(a  x  b) denota la probabilidad de que un evento se encuentre en el intervalo (a,b). Si conocemos la probabilidad P(a  x  b) para todos los valores de a y b, se dice que conocemos la Distribución de Probabilidades de la variable x.

Si x es un número dado y consideramos la probabilidad P(X  x):

F(x)= P(X  x):

y llamamos F(x) la función de distribución acumulada.

Ejemplo

Se tienen las probabilidades de que haya 1, 2, 3, ... etc, días nublados por semana en un determinado lugar, con ellos calcule la distribución de probabilidades

x P(x) F(x)

0 0.05 0.05

1 0.15 0.20

2 0.25 0.45

3 0.20 0.65

4 0.15 0.80

5 0.10 0.90

6 0.08 0.98

7 0.02 1.00

Total 1.0

Si se tiene una variable aleatoria continua, la figura presenta el histograma de 85 años de registro de caudales de crecientes (máximos instantáneos) en el río Magdalena, agrupados en 9 intervalos de clase.

x P(x) F(x)

1 0.05 0.05

2 0.10 0.15

3 0.15 0.30

4 0.20 0.50

5 0.10 0.60

6 0.10 0.70

7 0.15 0.85

8 0.10 0.95

9 0.05 1.00

Total 1.00

Cuando el número de observaciones se incrementa, el tamaño de los intervalos decrece y se puede tener algo sí

donde f(x) es la llamada función de densidad de probabilidades y tiene las siguientes características

i)

ii)

iii)

Lo que implica que las probabilidades se definen sólo como ÁREAS bajo la función de densidad de probabilidad (FDP) entre límites finitos.

1.1 MOMENTOS DE LAS DISTRIBUCIONES

Las propiedades de las distribuciones pueden ser definidas completamente en términos de los momentos. Los momentos en estadística son similares a los momentos en física (rotación respecto al origen)

para la variable continua

para la variable discreta

o respecto a la media (eje de rotación diferente al origen)

para la variable continua

para la variable discreta

1.2 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Los estadísticos extraen información de una muestra, indicando las características de la población. Los principales estadísticos son los momentos de primer, segundo y tercer orden correspondiente a la media, varianza, y asimetría respectivamente.

1.2.1 Media :

es el valor esperado de la variable misma . Primer momento respecto a la origen. Muestra la tendencia central de la distribución

el valor estimado de la media a partir de la muestra es

1.2.2 Varianza ²:

mide la variabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media.

el valor estimado de la varianza a partir de la muestra es

en el cual el divisor es n-1 en lugar de n para asegurar que la estadística de la muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser mayor o menor que el valor verdadero. Las unidades de la varianza son la media al cuadrado, la desviación estándar s es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones que la media y simplemente es la raíz cuadrada de la varianza, se estima por s. El significado de la desviación estándar se ilustra en la siguiente figura

Efectos de la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviación estándar.

Coeficiente de variación es una medida adimensional de la variabilidad su estimado es

1.2.3 Coeficiente de asimetría 

la distribución de los valores de una distribución alrededor de la media se mide por la asimetría. Se obtiene a partir del tercer momento alrededor de la media, dividiéndolo por el cubo de la desviación estándar para que sea adimensional.

tercer momento respecto a la media

Un estimativo del coeficiente de asimetría está dado por

Ejemplo

Encontrar el valor medio de la precipitación si se tiene

Intervalo (mm) Xi medio Frecuencia absoluta Frecuencia relativa x f(x)

100 110 105 10 0.1 10.5

110 120 115 16 0.16 18.4

120 130 125 9 0.09 11.25

130 140 135 10 0.1 13.5

140 150 145 20 0.2 29

150 160 155 15 0.15 23.25

160 170 165 20 0.2 33

Total=100 = 138.9

2 ANALISIS DE FRECUENCIA

El análisis de frecuencia es una herramienta utilizada para, predecir el comportamiento futuro de los caudales en un sitio de interés, a partir de la información histórica de caudales. Es un método basado en procedimientos estadísticos que permite calcular la magnitud del caudal asociado a un período de retorno. Su confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie histórica, además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades seleccionada. Cuando se pretende realizar extrapolaciones, período de retorno mayor que la longitud de la serie disponible, el error relativo asociado a la distribución de probabilidades utilizada es más importante, mientras que en interpolaciones la incertidumbre está asociada principalmente a la calidad de los datos a modelar; en ambos casos la incertidumbre es alta dependiendo de la cantidad de datos disponibles (Ashkar, et al. 1994). La extrapolación de frecuencias extremas en una distribución empírica de crecientes es extremadamente riesgosa (Garcon, 1994).

Para determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribución de probabilidades no es una función fácilmente invertibles se requiere conocer la variación de la variable respecto a la media. Chow en 1951 propusó determinar esta variación a partir de un factor de frecuencia KT que puede ser expresado:

y se puede estimar a partir de los datos

Para una distribución dada, puede determinarse una relación entre K y el período de retorno Tr. Esta relación puede expresarse en términos matemáticos o por medio del uso de una tabla.

El análisis de frecuencia consiste en determinar

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