Principios De Probabilidad

PROBABILIDAD

DEFINICIONES

• Probabilidad: es la posibilidad numérica de ocurra un evento. Se mide con valores comprendidos entre 0 y 1, entre mayor sea la probabilidad, más se acercará a uno.

• Experimento: es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido como el lanzamiento de un dado. Es el proceso que produce un evento.

• Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles. Para un dado es SS = (1,2,3,4,5,6)

Definición Clásica de Probabilidad. Modelo de frecuencia relativa

La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relación de el número de respuestas en favor de E, y el numero total de resultados posibles en un experimento.

Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es:

Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es:

Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, o 6 al lanzar un dado es:

 La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 0 y 1 . La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S = 1

 Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los “n” elementos relacionados = # Total de resultados posibles.

Probabilidad Compuesta

Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre sí.

En la composición existen dos posibilidades: Unión o Intersección .

 Unión de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unión de A y B contiene todos los elementos de el evento A o B o ambos.

 Intersección de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la intersección de A y B está compuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.

Relaciones entre eventos

Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios, condicionales y mutuamente excluyentes.

1. Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en un espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El complemento de A es:

Ejemplo 4: En el evento A (día nublado), P(A) = .3, la probabilidad de tener un día despejado será 1-P(A) = .7

2. Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:

, si

Ejemplo 5: Si el evento A (lluvia) = .2 y el evento B (nublado) = .3 , cual es la probabilidad de que llueva en un día nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes

=

 Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B).

La probabilidad de la ocurrencia de uno no está afectada por la ocurrencia del otro. De otra manera los eventos son dependientes.

Un ejemplo de evento independiente es: ¿Cuál es la probabilidad de que llueva en lunes?

El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 5.

3. Eventos mutuamente excluyentes.

Cuando un evento A no contiene elementos en común con un evento B, se dice que estos son mutuamente excluyentes.

Ejemplo 6. Al lanzar un dado: a) cual es la probabilidad de que salga 2 o 3? B) Calcule ?

a)

b) = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.

Ley aditiva:

 Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:

 Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:

Ejemplo 7.

Ley multiplicativa:

 Si los eventos A y B son dependientes:

 Si los eventos A y B son independientes:

Ejemplo 8: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo), a) calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado.

A: El primer artículo está en buen estado.

B: El segundo artículo está en buen estado.

a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:

=

b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces:

=

Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se tiene que haber cumplido antes el evento A.

TABLAS DE CONTINGENCIA Y TABLAS DE PROBABILIDAD

Una tabla de contingencia se forma como sigue:

Clasificación de los empleados

Genero Personal Línea Auxiliar Total

Hombres 120 150 30 300

Mujeres 50 140 10 200

Total 170 290 40 500

Con esto se forma la tabla de probabilidades dividiendo todos los datos de la tabla entre el total de 500, queda como:

Clasificación de los empleados

Genero Personal (S) Línea (L) Auxiliar (A) Total

Hombres(M) 0.24 0.30 0.06 0.60

Mujeres (m) 0.10 0.28 0.02 0.40

Total 0.34 0.58 0.08 1.00

De esta forma las probabilidades marginales o de las orillas de la tabla son:

P(L) = 0.58

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