Propiedades De Los Determinantes

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

El determinante es una herramienta matemática, se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales de la matriz. El orden de un determinante viene dado por el número de filas y columnas que tenga. Existen diferentes métodos para resolverlos.

Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación. En los ejemplos siguientes consideramos que  A  es una matriz cuadrada.

Propiedad 1.

Si una matriz  A  tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es 0. 

Ejemplo 1.

Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene

 -(0)+(0)

Propiedad 2.

El determinante de una matriz  A   es  igual al determinante de la transpuesta de  A. 

Esto es:

Ejemplo 2.

La transpuesta de A  es          

 Propiedad 3.

Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz  A entonces el determinante cambia de signo.

 Ejemplo 3.

    con   

 Intercambiando los renglones  1  y  2   la matriz queda

con  

Notese que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.

Propiedad 4.

Si una matriz  A  tiene dos renglones (o dos columnas)iguales  entonces   det A =0

Ejemplo 4.

       entonces  

Propiedad 5.

Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz  A  se multiplica por un escalar  r  el determinante de  la matriz  resultante es  r  veces el determinante de  A,   r det A

Ejemplo 5.

      cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar  r = 3 se tiene la matriz  B siguiente

 cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es     

 Propiedad 6.

Si un renglón de la matriz  A  se multiplica por un escalar  r   y se suma a otro renglón  de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual  al determinante de A,  det A.   Lo mismo se cumple para las columnas de A. 

Ejemplo 6.

     cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,  

Multiplicando la segunda columna de A por el escalar  2  y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene

 Propiedad 7.

Si  A  y  B  son matrices de , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B.

Esto es:

Ejemplo 7.

      y      

con       y      

El producto      

Y su determinante  es     

Entonces     .

Propiedad 8.

 El determinante de la matriz identidad I es

...