Pruebas De Hipotesis

Introducción

Pueden presentarse en la práctica, situaciones en las que exista una teoría preconcebida relativa a la característica de la población sometida a estudio. Tal sería el caso, por ejemplo si pensamos que un tratamiento nuevo puede tener un porcentaje de mejoría mayor que otro estándar, o cuando nos planteamos si los niños de las distintas comunidades españolas tienen la misma altura. Este tipo de circunstancias son las que nos llevan al estudio de la parcela de la Estadística Inferencial que se recoge bajo el título genérico de Contraste de Hipótesis. Implica, en cualquier investigación, la existencia de dos teorías o hipótesis implícitas, que denominaremos hipótesis nula e hipótesis alternativa, que de alguna manera reflejarán esa idea a priori que tenemos y que pretendemos contrastar con la ``realidad''. De la misma manera aparecen, implícitamente, diferentes tipos de errores que podemos cometer durante el procedimiento. No podemos olvidar que, habitualmente, el estudio y las conclusiones que obtengamos para una población cualquiera, se habrán apoyado exclusivamente en el análisis de sólo una parte de ésta. De la probabilidad con la que estemos dispuestos a asumir estos errores, dependerá, por ejemplo, el tamaño de la muestra requerida. Desarrollamos en este capítulo los contrastes de hipótesis para los parámetros más usuales que venimos estudiando en los capítulos anteriores: medias, varianzas y proporciones, para una o dos poblaciones. Los contrastes desarrollados en este capítulo se apoyan en que los datos de partida siguen una distribución normal.

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Los contrastes de significación se realizan:

suponiendo a priori que la ley de distribución de la población es conocida.

Se extrae una muestra aleatoria de dicha población.

Si la distribución de la muestra es ``diferente'' de la distribución de probabilidad que hemos asignado a priori a la población, concluimos que probablemente sea errónea la suposición inicial.

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9.2.0.1 Ejemplo

Supongamos que debemos realizar un estudio sobre la altura media de los habitantes de cierto pueblo de Colombia. Antes de tomar una muestra, lo lógico es hacer la siguiente suposición a priori, (hipótesis que se desea contrastar y que denotamos H0):

Al obtener una muestra de tamaño n=8, podríamos encontrarnos ante uno de los siguientes casos:

1.

Muestra = {1,50 ;1,52; 1,48; 1,55; 1,60; 1,49; 1,55; 1,63}

2.

Muestra = {1,65; 1,80; 1,73; 1,52; 1,75; 1,65; 1,75; 1,78}

Intuitivamente, en el caso a sería lógico suponer que salvo que la muestra obtenida sobre los habitantes del pueblo sea muy poco representativa9.1, la hipótesis H0 debe ser rechazada. En el caso b tal vez no podamos afirmar con rotundidad que la hipótesis H0 sea cierta, sin embargo no podríamos descartarla y la admitimos por una cuestión de simplicidad.

Este ejemplo sirve como introducción de los siguientes conceptos: En un contraste de hipótesis (también denominado prueba de hipótesis o Contraste de significación) se decide si cierta hipótesis H0 que denominamos hipótesis nula puede ser rechazada o no a la vista de los datos suministrados por una muestra de la población. Para realizar el contraste es necesario establecer previamente una hipótesis alternativa (H1) que será admitida cuando H0 sea rechazada. Normalmente H1es la negación de H0, aunque esto no es necesariamente así.

El procedimiento general consiste en definir un estadístico T relacionado con la hipótesis que deseamos contrastar. A éste lo denominamos estadístico del contraste o estadistico de prueba

A continuación suponiendo que H0 es verdadera se calcula un intervalo de denominado intervalo de aceptación9.2 de la hipótesis nula, de manera que al calcular sobre la muestra T=Texp el criterio a seguir sea:

El intervalo de aceptación o más precisamente, de no rechazo de la hipótesis nula, se establece fijando una cantidad suficientemente pequeña denominada nivel de significación, de modo que la probabilidad de que el estadístico del contraste tome un valor fuera del mismo -- región crítica--

cuando la hipótesis nula es cierta sea inferior o al ; Esto se ha de entender como sigue:

Si H0 es correcta el criterio de rechazo sólo se equivoca con probabilidad , que es la probabilidad de que una muestra dé un valor del estadístico del contraste extraño (fuera del intervalo de aceptación).

La decisión de rechazar o no la hipótesis nula está al fin y al cabo basado en la elección de una muestra tomada al azar, y por tanto es posible cometer decisiones erróneas. Los errores que se pueden cometer se clasifican como sigue:

Error de tipo I:

Es el error que consiste en rechazar H0 cuando es cierta. La probabilidad de cometer este error es lo que anteriormente hemos denominado nivel de significación. Es una costumbre establecida el denotarlo siempre con la letra

Error de tipo II:

Es el error que consiste en no rechazar H0 cuando es falsa. La probabilidad de cometer este error la denotamos con la letra

9.2.2 Observaciones

1.

Los errores de tipo I y II no están relacionados más que del siguiente modo: Cuando decrece crece. Por tanto no es posible encontrar tests que hagan tan pequeños como queramos ambos errores simultáneamente. De este modo es siempre necesario privilegiar a una de las hipótesis, de manera que no será rechazada, a menos que su falsedad se haga muy evidente. En los contrastes, la hipótesis privilegiada es H0 que sólo será rechazada cuando la evidencia de su falsedad supere el umbral del .

2.

Al tomar muy pequeño tendremos que se puede aproximar a uno. Lo ideal a la hora de definir un test es encontrar un compromiso satisfactorio entre y (aunque siempre a favor de H0). Denominamos potencia de un contraste a la cantidad , es decir

no rechazar H0 rechazar H0

H0 es cierta Correcto Error tipo I

Probabilidad

Probabilidad

H0 es falsa Error tipo II Correcto

Probabilidad

Probabilidad

3.

En el momento de elegir una hipótesis privilegiada podemos en principio dudar entre si elegir una dada o bien su contraria. Criterios a tener en cuenta en estos casos son los siguientes:

• Simplicidad científica: A la hora de elegir

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