RESUMEN DEL PROYECTO ECUACIÓN DIFERENCIAL

I.M.I MANTENIMIENTO INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS

ING. NAZARIO SAMPAYO CARBALLO

PRACTICA 1

ALUMNO

ALDAIR GUTIERREZ HUESCA

GRUPO: 8 “A”

INTRODUCCION

El desarrollo de la matemática está ligado al desarrollo integral del hombre, y es así como avances de las matemáticas han incidido directamente en las demás ciencias y a la vez desarrollos de otras ciencias han motivado e impulsado nuevos conocimientos matemáticos.

El propósito de este tema es introducirnos a la terminología básica de las Ecuaciones Diferenciales y examinar brevemente como se deducen las ecuaciones diferenciales al tratar de formular o describir fenómenos físicos o geométricos en términos matemáticos. Para esto es fundamental tener los principios como se clasifican las ecuaciones diferenciales en ecuación diferencial ordinaria y ecuación diferencial parcial y se establecen criterios para determinar el orden, el grado y la linealidad de una ecuación diferencial.

RESUMEN DEL PROYECTO

ECUACIÓN DIFERENCIAL

• Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial.

• Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función de:

 TIPO.

 ORDEN.

 GRADO

 LINEALIDAD.

CLASIFICACIÓN POR TIPO

• Si una ecuación diferencial contiene sólo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.

• Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.

Clasificación según el orden

• El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD

• Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y´, y´´, . . ., y(n).

• Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando

En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2):

y

Se puede observar las características de una ecuación diferencial lineal:

• La variable dependiente y y todas sus derivadas

y´, y´´, . . ., y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y es 1.

• Los coeficientes a0, a1, …, an de y´, y´´, . . ., y(n) dependen sólo de la variable independiente x

ECUACION DIFERENCIAL NO LINEAL

Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es aquella que NO es lineal

Las siguientes ecuaciones diferenciales son no lineales:

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERIA

1. Movimiento vibratorio de sistemas mecánicos:

El sistema más simple disponible para estudiar el movimiento vibratorio consiste en un resorte de peso despreciable [figura(a)] suspendido verticalmente de un soporte fijo. Suponga que un peso W se cuelga del resorte [figura (b)].

Cuando el peso está en reposo describimos su posición como la posición de equilibrio. Si el peso se desplaza ejerciendo una fuerza vertical y hacia abajo y se deja de ejercer cuando tiene una cierta distancia respeto de la posición de equilibrio, estará bajo un movimiento vibratorio alrededor de la posición de equilibrio [figura(c)].Queremos averiguar el movimiento que realiza el cuerpo en su desplazamiento respecto de la posición de equilibrio. Para conseguir este propósito, tendremos que conocer las fuerzas que actúan sobre el peso durante su movimiento. Por la experiencia vemos que hay una fuerza que hace regresar o restaurar un peso desplazado a su posición de equilibrio. Esta fuerza se llama la fuerza restauradora.

Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en la Ingeniería hace regresar o restaurar un peso desplazado a su posición de equilibrio. Esta fuerza se llama la fuerza restauradora.

La ley que gobierna esta fuerza es un caso especial de la ley generalizada de Hooke. Nos referiremos a este caso especial como la ley de Hooke, la cual se enuncia como sigue:

La fuerza ejercida por un resorte, tendiente a restaurar el peso W a la posición de equilibrio, es proporcional a la distancia de W a la posición de equilibrio. (“la fuerza es proporcional al alargamiento”).

Denotamos la magnitud de la fuerza restauradora por | f |, y sea x la posición de W medida desde la posición de equilibrio. Se supone la dirección positiva hacia abajo, de modo que x es positivo cuando W está por debajo de la posición de equilibrio y negativo cuando W esté por encima de esta posición.

De acuerdo a la ley de Hooke,

f|α|x o |f| =k|x| donde k > 0 es una constante de proporcionalidad, que depende de la dureza del resorte y se llama constante del resorte o módulo de elasticidad del resorte. Para determinar la dirección de la fuerza, observamos que cuando x > 0 la fuerza está dirigida hacia arriba y por tanto es negativa. Cuando x < 0 la fuerza está dirigida hacia abajo y es por tanto positiva. Esto se puede satisfacer, sólo si la fuerza está dada tanto en magnitud como dirección por – k x, de modo que la ley de Hooke es:

f = - k x

Cuando el peso W se coloca en el resorte, se estira una distancia s como se ve en la anterior figura en la posición (b), según la ley de Hooke, la tensión T en el resorte es proporcional al elongamiento, y así T1 = ks; puesto que el resorte y el peso están en equilibrio se tiene que T1 = ks= W

Cuando el peso se baja más y se suelta, su posición en cualquier tiempo se muestra en la figura (c). La

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