Resumen ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Ecuación diferencial de segundo orden:         x’’(t) + b x’(t) + c x(t) = P(t)

La parte izquierda de la igualdad se denomina término homogéneo y la parte derecha término no homogéneo o particular.

Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de segundo orden, tenemos 2 casos:

CASO 1: Si P(t) = 0, entonces deberemos asociarle lo que se denomina el polinomio característico o ecuación característica del siguiente modo:

λ2 + b λ + c = 0

y resolver esta ecuación de segundo grado (en las soluciones m1, m2, no aparece el coeficiente a del término λ2 porque siempre es 1):

1. Si m1, m2 son raíces reales y diferentes, la solución general de la ecuación diferencial es:

[pic 3]

1. Si m1, m2 son raíces reales e iguales (m1 = m2), la solución general de la ecuación diferencial es:

[pic 4]

1. Si m1, m2 son raíces complejas de la forma (m1 = α + βi, m2 = α − βi), la solución general de la ecuación diferencial es:

[pic 5]

Fíjate que α y β corresponden a:

(Las constantes C1 y C2 se podrán calcular cuando nos proporcionen valores iniciales para x(t) y x’(t))

CASO 2: Si P(t) ≠ 0, entonces la solución de la ecuación diferencial será la suma de la solución de la homogénea más una solución de la particular:

[pic 8]

La solución de la homogénea se obtiene tal como se ha descrito para el CASO 1, mientras que la solución de la particular se obtendrá del siguiente modo dependiendo de la forma del término no homogéneo:

1. Si es un polinomio Pn(t) de grado n:

1. Si 0 no es una raíz de la ecuación característica, entonces la solución particular es un polinomio Qn(t) de grado n.
2. Si 0 es una raíz de multiplicidad k de la ecuación característica, entonces la solución particular es de la forma tk Qn(t), donde Qn(t) es un polinomio de grado n.

1. Si es de la forma eat Pn(t):

1. Si a no es una raíz de la ecuación característica, entonces la solución particular es de la forma eat Qn(t), donde Qn(t) es un polinomio de grado n.
2. Si a es una raíz de multiplicidad k de la ecuación característica, entonces la solución particular es de la forma tk eat Qn(t), donde Qn(t) es un polinomio de grado n.

1. Si es de la forma eat (Pn(t) cos(bt) + Qm(t) sin(bt)):

1. Si a + bi no es una raíz de la ecuación característica, entonces la solución particular es de la forma eat (Tr(t) cos(bt) + Sr(t) sin(bt)), donde Tr(t) y Sr(t) son polinomios de grado r = max (n, m).
2. Si a + bi es una raíz de multiplicidad k de la ecuación característica, entonces la solución particular es de la forma tk eat (Tr(t) cos(bt) + Sr(t) sin(bt)), donde Tr(t) y Sr(t) son polinomios de grado r = max (n, m).

(Fíjate que a puede ser 0 y entonces eat = e0t = 1, de modo que la solución particular sería de la forma Tr(t) cos(bt) + Sr(t) sin(bt). También puede ocurrir que el término no homogéneo sea de la forma Pn(t) cos(bt) o de la forma Qm(t) sin(bt), es decir, que el seno o el coseno sean 0; en este caso, la solución se busca exactamente igual que si tuviera ambas razones trigonométricas).

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