Resumen Ecuaciones Diferenciales

1.1 Variables separables

La metodología para resolver ecuaciones de primer orden, dy/dx=f(x,y), con la más sencilla de todas las ecuaciones diferenciales. Cuando f es independiente de la variable y esto es, cuando f(x,y)=g(x), la ecuación diferencial se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de (1) se llega a la solución

Se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de (1) se llega a la solución

en donde G(x) es una antiderivada (o integral indefinida) de g(x).

Por lo que se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la siguiente forma,

es separable o de variables separables

Ecuaciones diferenciales ordinarias separables (Ejercicios resueltos)

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

donde

Ejemplo 4

I.T.

I.T. =

1.2 Ecuaciones exactas

La sencilla ecuación y dx + x dy = 0 es separable, pero también equivale a la diferencial del producto de x por y; esto es,

Al integrar obtenemos de inmediato la solución implícita xy = c.

En cálculo diferencial si z = f (x,y) es una función con primeras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy, su diferencial (que también se llama la diferencial total) es,

Entonces, si f (x,y) = c, de acuerdo con (2),

Dada una familia de curvas f (x,y) = c, podemos generar una ecuación diferencial de primer orden si calculamos la diferencial total;

Una ecuación diferencial M (x, y) + N (x, y) si z = f (x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy, si corresponde a la diferencial de alguna función f (x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

es una ecuación diferencial exacta (diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Sean continuas M(x, y) y N(x, y), con derivas parciales continuas en una región rectangular R, definida por a < x < b, c < y < d. Entonces, la condición necesaria y suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy sea una diferencial exacta es que

la solución es la siguiente,

Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas (Ejercicios resueltos)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

1.2 Ecuaciones homogéneas

Método de solución Una ecuación diferencial homogénea como M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 se puede resolver por sustitución algebraica. Específicamente, alguna de las dos sustituciones y=ux, o x=vy, donde u y v son nuevas variables dependientes, reducen la ecuación a una ecuación diferencial separable, de primer orden. Para demostrarlo sustituimos y=ux y su diferencial, dy=u dr + x, en la ecuación (1):

Aplicamos la propiedad de homogeneidad para poder escribir

o bien

Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas (Ejercicios resueltos)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

1.4 Ecuación lineal

Una ecuación diferencial de primer grado, de la forma

es una ecuación lineal.

Al dividir ambos lados de la ecuación (1) entre el primer coeficiente, , se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal:

Para resolver la ecuación (2) se propone un factor integrante . Por consiguiente el método de solución es el siguiente.

1.4.1 La ecuación d Bernoulli

La ecuación diferencial

en que n es cualquier número real, es la ecuación de Bernoulli. Obsérvese que cuando n=0 y n=1, la ecuación (4) es lineal. Cuando n ≠ 0 y n ≠ 1, la sustitución reduce cualquier ecuación de la forma (4) a una ecuación lineal.

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales (Ejercicios resueltos)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

2.1 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Modelo matemático Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en

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