Resumen Ecuaciones Diferenciales

1.1 Variables separables

La metodología para resolver ecuaciones de primer orden, dy/dx=f(x,y), con la más sencilla de todas las ecuaciones diferenciales. Cuando f es independiente de la variable y esto es, cuando f(x,y)=g(x), la ecuación diferencial se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de (1) se llega a la solución

Se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de (1) se llega a la solución

en donde G(x) es una antiderivada (o integral indefinida) de g(x).

Por lo que se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la siguiente forma,

es separable o de variables separables

Ecuaciones diferenciales ordinarias separables (Ejercicios resueltos)

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3

donde

Ejemplo 4

I.T.

I.T. =

1.2 Ecuaciones exactas

La sencilla ecuación y dx + x dy = 0 es separable, pero también equivale a la diferencial del producto de x por y; esto es,

Al integrar obtenemos de inmediato la solución implícita xy = c.

En cálculo diferencial si z = f (x,y) es una función con primeras derivadas parciales continuas en una región R del plano xy, su diferencial (que también se llama la diferencial total) es,

Entonces, si f (x,y) = c, de acuerdo con (2),

Dada una familia de curvas f (x,y) = c, podemos generar una ecuación diferencial de primer orden si calculamos la diferencial total;

Una ecuación diferencial M (x, y) + N (x, y) si z = f (x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy, si corresponde a la diferencial de alguna función f (x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

es una ecuación diferencial exacta (diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Sean continuas M(x, y) y N(x, y), con derivas parciales continuas en una región rectangular R, definida por a < x < b, c < y < d. Entonces, la condición necesaria y suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy sea una diferencial exacta es que

la solución es la siguiente,

Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas (Ejercicios resueltos)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

1.2 Ecuaciones homogéneas

Método de solución Una ecuación diferencial homogénea como M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 se puede resolver por sustitución algebraica. Específicamente, alguna de las dos sustituciones y=ux, o x=vy, donde u y v son nuevas variables dependientes, reducen la ecuación a una ecuación diferencial separable, de primer orden. Para demostrarlo sustituimos y=ux y su diferencial, dy=u dr + x, en la ecuación (1):

Aplicamos la propiedad de homogeneidad para poder escribir

o bien

Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas (Ejercicios resueltos)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

1.4 Ecuación lineal

Una ecuación diferencial de primer grado, de la forma

es una ecuación lineal.

Al dividir ambos lados de la ecuación (1) entre el primer coeficiente, , se obtiene una forma más útil, la forma estándar de una ecuación lineal:

Para resolver la ecuación (2) se propone un factor integrante . Por consiguiente el método de solución es el siguiente.

1.4.1 La ecuación d Bernoulli

La ecuación diferencial

en que n es cualquier número real, es la ecuación de Bernoulli. Obsérvese que cuando n=0 y n=1, la ecuación (4) es lineal. Cuando n ≠ 0 y n ≠ 1, la sustitución reduce cualquier ecuación de la forma (4) a una ecuación lineal.

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales (Ejercicios resueltos)

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

2.1 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Modelo matemático Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos, dicho sistema puede ser físico, sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podríamos tratar de comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales, o podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva, sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba.

La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia:

i) Mediante la identificación de las variables constantes del cambio del sistema. Podemos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo.

A continuación,

ii) Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos de describir. Esas hipótesis también todas las leyes empíricas aplicables al sistema.

Dado que las hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia razón o tasa de cambio de u a o más variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático es una ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales.

Solución de problemas aplicados al modelado matemático con la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Ejemplo 1

Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplico en cinco años, ¿en cuánto tiempo se duplicara y cuadruplicara?

Cond. Iníciales

Evaluando en la solución de la ecuación diferencial ordinaria se encuentra el valor de c

, c para este caso particular la solución es

En t=5 años, p=2 , y evaluando en la ec. (3) se tiene,

Por lo tanto, el modelo matemático es,

En cuanto tiempo se triplica y cuadruplicara la población

despejando de la ec. (4) el tiempo y sustituyendo y para , se tiene que el tiempo es

se triplica años y se cuadruplica en

Ley de enfriamiento de Newton Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que lo rodea, que es la temperatura ambiente. Si T(t) representa la temperatura del objeto en el momento es la temperatura constante del medio que lo rodea y dT/dt es la rapidez con que se enfría el objeto, la ley de Newton del enfriamiento se traduce en el enunciado matemático

en donde k es una constante de proporcionalidad. Como se supone que el objeto se enfría, se debe

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