TRRABAJO FORMATIVO.

TRABAJO FORMATIVO

Matemática II

Integrantes:

Lima – Perú

2016

Ejercicio 1.

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique.

a) Sea 𝑓 una función definida por (𝑥)=𝑥𝑒𝑐𝑥. Si 𝑓′(−1)=−𝑒−𝑐 entonces 𝑐=−1

[pic 2]

b) Sea 𝑔 una función definida por (𝑥)=ln(𝑥2+5), luego la variación aproximada de 𝑔, cuando 𝑥 cambia de 1 a 2, es 1/3.

[pic 3]

C) Si 𝑦= 2𝑘𝑥+𝑐, luego el diferencial 𝑑𝑦, es 𝑘2𝑘𝑥𝑑𝑥.

[pic 4]

d) Siempre es cierto que 𝑑𝑛/𝑑𝑥(𝑥𝑛−1+𝑒𝑐𝑥)=𝑐𝑛𝑒𝑐𝑥.

[pic 5]

Ejercicio 2.

a) Para una relación particular huésped-parasito, se determinó que cuando la densidad de los huéspedes (número de huéspedes por unidad de área) es x el número de huéspedes que tienen parásitos es y, donde 𝑦=900𝑥/10+45 .

Modele la razón de cambio del número de huéspedes que tienen parásitos con respecto a la densidad de huéspedes

[pic 6]

b) Modele la derivada 𝑦’ , si se sabe que y=(1+𝑒2𝑥)𝑥2+1

[pic 7]

Ejercicio 3.

a) De acuerdo con la estimación de una empresa, la utilidad P por la venta de su nuevo producto está relacionada con el gasto publicitario x mediante la fórmula (𝑥)=23𝑥+15𝑥+4 Donde x y P están en millones de dólares. Si se cuenta para invertir en publicidad entre 4 y 10 millones de dólares. Determine la inversión en publicidad que maximiza la utilidad

x: Gasto publicitario (Millones)

P(x): Utilidad por ventas (Millones)

[pic 8]

4

[pic 9]

No hay puntos críticos

Tabulemos en el intervalo de 4

La inversión en publicidad tendría que ser aproximadamente 10 millones de dólares

b) El costo de producir q unidades de un producto está dado por

𝑐 =1000+6𝑞−0,003𝑞2+10−6𝑞3 dólares

Si la ecuación de la demanda es dado por 𝑝=12−0,0015𝑞 dólares. Modele las funciones, ingreso marginal y utilidad marginal del fabricante.

q: Unidades de productos

C: Costo de producción

𝑐 =1000+6𝑞−0,003𝑞2+10−6𝑞3

Ecuación de la demanda:

        [pic 10]

        Ingreso Marginal (IM):

        [pic 11]

UM: Utilidad Marginal

U=I-C: Utilidad

U(q) =12q−0,0015q-(1000+6𝑞−0,003𝑞2+10−6𝑞3)

        [pic 12]

Ejercicio 4.

La elasticidad de demanda para una función de demanda 𝑝=(𝑞) está dada por

𝑛=𝑓(𝑞)𝑞𝑓′(𝑞) . Muestre que la elasticidad de la demanda para la función 𝑝=𝑞(𝑞) viene dado

por 𝑛/1+𝑛

Si:                

[pic 13]        y        [pic 14]

Entonces la elasticidad de P=q.f(q)

[pic 15]

Como:

[pic 16]

Remplazamos:

[pic 17]

5. Considere la curva definida por la ecuación 𝑥𝑦 + 5𝑥3 𝑦 2 = 22

a. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1,2)

b. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva en el punto (1,2)

Solución:

1. mt = dy/dx      mt = pendiente de la tangente.

[pic 18]

Ecuación tangente:

           [pic 19] 

1. mnormal= 21/62 ya que mt.mn= -1

[pic 20]

6. Una compañía produce dos variedades de dulces A y B para los cuales los costos promedios de producción son constantes 50 y 60 centavos por kg respectivamente. Las funciones de demanda para los dulces A y B vienen dados por 𝑞𝐴 = 4(𝑝𝐵 − 𝑝𝐴 ), 𝑞𝐵 = 400 + 4(𝑝𝐴 − 2𝑝𝐵)

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