Tecnias De Conteo

TÉCNICAS DE CONTEO.

En muchas situaciones la clave para la solución de un problema de probabilidad consiste en llevar a cabo algún tipo de conteo y por tanto el éxito o fracaso en la solución depende de lo bien o mal que se haga el conteo. En lo que sigue, el propósito es precisar los criterios que se deben tener en cuenta para llevar a cabo un conteo efectivo, acorde con la circunstancia particular del caso.

Principio de multiplicación.

Si una operación se puede efectuar de n1 maneras y para cada una de ellas se puede efectuar una segunda operación de n2 maneras y así sucesivamente hasta la operación nr, entonces el número de maneras en que el proceso puede realizarse será el producto

n1 n2...nr.

El principio de multiplicación se puede representar gráficamente mediante el diagrama del árbol en la forma siguiente:

Ejemplo: Dos viajeros llegan a una ciudad en la que hay 3 hoteles ¿De cuántas maneras pueden hospedarse si cada uno debe estar en un hotel diferente?

El primer viajero puede seleccionar cualquiera de los 3 hoteles y el segundo viajero tendrá 2 hoteles para escoger, ya que debe de estar en uno diferente, por lo que el número de formas en que pueden hospedarse los 2 viajeros en los 3 hoteles será (3) (2) = 6.

Si deseamos resolver este problema mediante el diagrama del árbol, representamos los hoteles como H1, H2 y H3. Entonces tendremos:

Si seguimos todos los caminos posibles desde el origen hasta cada una de las terminales, tendremos las formas en que los viajeros pueden hospedarse y que en este caso son seis (H1H2, H1H3, H2H1, H2H3, H3H1, H3H2).

Ejemplo: Hay 10 aviones que vuelan entre las ciudades de México y Monterrey ¿De cuántas maneras puede ir una persona de México a Monterrey y regresar en un avión diferente?

Solución:

También se tiene el caso en que cada una de las operaciones puede realizarse en un mismo número de formas posibles, por lo que n1 = n2 = nr = n. Aplicando el principio de multiplicación tenemos:

n n n…=n^r

Ejemplo: Si se lanza un dado legal 4 veces ¿Cuántos resultados puede haber?

Solución

Estas condiciones también se presentan cundo se tienen n elementos diferentes y es necesario seleccionar, de uno en uno, r elementos con sustitución. Aquí, cuando se selecciona un elemento luego se regresa a su lugar de origen antes de seleccionar el siguiente elemento, con lo que se restablecen las condiciones originales. Así, habrá n formas diferentes de seleccionar el primer elemento, n formas de seleccionar el segundo y así para cada uno de los demás elementos hasta llegar al elemento r, por lo que el número total de formas de seleccionar los elementos será

nr

Ejemplo:

Si se tiene una caja con 5 tornillos de diferente longitud y se extraen 3 tornillos de uno en uno con sustitución ¿Cuántas formas hay de seleccionar los tornillos?

Solución

Ejemplo:

Suponga que se desea formar una terna para elegir presidente, vicepresidente y secretario de una junta directiva. Hay 3 candidatos para la presidencia; 5 para la vicepresidencia y 4 para la secretaría, ¿de cuántas formas se puede elaborar la terna?

Número de formas como se puede escoger el presidente = 3

Número de formas como se puede escoger el vicepresidente = 5

Número de formas como se puede escoger el secretario = 4

Solución:

Ejemplo:

Un profesor de pedagogía desea exhibir tres carteles en el vestíbulo de un colegio, uno a continuación del otro. ¿De cuántas formas puede colocar los tres carteles?

Número de formas de colocar el primer cartel = 3

Número de formas de colocar el segundo cartel = 2 (dado que el primero ya está colocado)

Número de formas de colocar el tercer cartel = 1 (dado que el primero y el segundo ya fueron colocados)

Por el principio de multiplicación se tiene que el número de formas como se pueden colocar los tres carteles está dado por 3x2x1=6

Principio de adición.

Si una operación se puede realizar de n1 maneras, una segunda operación se puede realizar de n2 maneras y así sucesivamente hasta la operación r y las operaciones no se pueden realizar juntas, entonces el número de maneras en que el proceso puede realizarse será la suma:

n1 + n2 + n3 +. . .+ nr

Su presentación mediante el diagrama del árbol es:

Ejemplo: Una persona desea realizar un viaje. Al investigar los itinerarios le indican que hay 3 rutas si utiliza autobús y 2 rutas si utiliza avión ¿Cuántas rutas hay disponibles para realizar el viaje?.

Solución

Como hay 3 rutas para autobús y 2 para avión, entonces habrá 3 + 2 = 5 rutas para realizar el viaje.

Utilizando el diagrama de árbol se tiene:

Ejemplo: Un individuo va a comer en un restaurante y al ver el menú observa que hay 3 guisos de carne de res, 4 de aves, 2 de verduras y uno de pescado ¿De cuántas formas puede ordenar su guiso?

Solución

Ejemplo:

Una persona puede viajar de una ciudad a otra por tres carreteras disponibles o por dos líneas férreas. ¿De cuántas formas esta persona puede hacer el viaje entre las dos ciudades?

Observe que si la persona decide viajar por carretera, queda totalmente descartado que lo haga por tren y viceversa, así que:

Número de formas como puede viajar por carretera= 3

Número de formas como puede viajar en tren= 2

Al aplicar el principio de adición se tiene 3+2=5 como el número de formas como puede la persona viajar por entre las dos ciudades.

Permutaciones.

Una ordenación de un conjunto de n elementos se llama permutación. Dos permutaciones pueden contener los mismos elementos, pero difieren en el orden en que están colocados.

Ordenar n objetos es equivalente a tomar una caja con n compartimentos y poner cada elemento en un compartimento en algún orden específico.

1 2 3 . . . n

Existen 4 casos posibles de permutaciones:

Cuando se tienen n Elementos Diferentes y se Toman Todos a la Vez.

Si analizamos la caja con n compartimentos, observamos que la primer casilla se puede llenar de n formas diferentes, la segunda de (n-1) formas, la tercera de (n-2) formas,. . ., y la última casilla de sólo una forma. Aplicando

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