Teoria De La Complejidad

TEORÍA DE LA COMPLEJIDAD

La teoría de la complejidad computacional es la rama de la teoría de la computación que estudia, de manera teórica, los recursos requeridos durante el cómputo de un algoritmo para resolver un problema. Los recursos comúnmente estudiados son el tiempo (mediante una aproximación al número y tipo de pasos de ejecución de un algoritmo para resolver un problema) y el espacio (mediante una aproximación a la cantidad de memoria utilizada para resolver un problema). Se pueden estudiar igualmente otros parámetros, tales como el número de procesadores necesarios para resolver el problema en paralelo. Los problemas que tienen una solución con orden de complejidad lineal son los problemas que se resuelven en un tiempo que se relaciona linealmente con su tamaño.

Hoy en día las computadoras resuelven problemas mediante algoritmos que tienen como máximo una complejidad o coste computacional polinómico, es decir, la relación entre el tamaño del problema y su tiempo de ejecución es polinómica. Éstos son problemas agrupados en el conjunto P. Los problemas que no pueden ser resueltos por nuestras computadoras (las cuales son Máquinas Determinísticas), que en general poseen costes factorial o combinatorio, pero podrían ser procesados por una Máquina No Determinística, están agrupados en el conjunto NP. Estos problemas no tienen una solución práctica, es decir, una máquina determinística (como una computadora actual) no puede resolverlos en un tiempo razonable.

Un problema dado puede verse como un conjunto de preguntas relacionadas, donde cada pregunta se representa por una cadena de caracteres de tamaño finito.

La complejidad temporal de un problema es el número de pasos que toma resolver una instancia de un problema, a partir del tamaño de la entrada utilizando el algoritmo más eficiente a disposición. Intuitivamente, si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en n² pasos, se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de n². Por supuesto, el número exacto de pasos depende de la máquina en la que se implementa, del lenguaje utilizado y de otros factores. Para no tener que hablar del costo exacto de un cálculo se utiliza la notación O.

Cuando un problema tiene costo en tiempo O(n²) en una configuración de computador y lenguaje dado este costo será el mismo en todos los computadores, de manera que esta notación generaliza la noción de coste independientemente del equipo utilizado.

Ejemplos

 Extraer cualquier elemento de un vector. La indexación en un vector o array lleva el mismo tiempo sea cual fuere el índice que se quiera buscar, por tanto es una operación de complejidad constante O(1).

 Buscar en un diccionario tiene complejidad logarítmica. Se puede iniciar la búsqueda de una palabra por la mitad del diccionario. Inmediatamente se sabe si se ha encontrado la palabra o, en el caso contrario, en cuál de las dos mitades hay que repetir el proceso (es un proceso recursivo) hasta llegar al resultado. En cada (sub)búsqueda el problema (las páginas

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