Tracol Probabilidad

1.- Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajón que contiene siete calcetines cafés y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria

X que represente el número de calcetines cafés que se selecciona.

a.- Encuentre la función de probabilidad f(x).

Como tenemos: 7 calc. cafés + 4 calc. verdes = 11 calcetines

Primero hallamos la cantidad de posibilidades de sacar 2 calcetines entre 11 que hay en el cajón.

._11 C_2=(11¦2)=11!/(9!*2!)=(11*10)/(2*1)=110/2=55 posibilidades.

Para encontrar la función de probabilidad debemos hallar las probabilidades para los casos en que al sacar dos calcetines estos sean cero, uno o dos calcetines cafés.

Al sacar cero calcetines cafés, tenemos:

(7¦0)(4¦2)/((11¦2) )=(1*6)/55=6/55

._7 C_0=(7¦0)=7!/(7!*0!)=1/1=1

._4 C_2=(4¦2)=4!/(2!*2!)=(4*3)/(2*1)=12/2=6

Al sacar un calcetín café, tenemos:

(7¦1)(4¦1)/((11¦2) )=(7*4)/55=28/55

._7 C_1=(7¦1)=7!/(6!*1!)=7/1=7

._4 C_1=(4¦1)=4!/(3!*1!)=4/1=4

Al sacar dos calcetines cafés, tenemos:

(7¦2)(4¦0)/((11¦2) )=(21*1)/55=21/55

._7 C_2=(7¦2)=7!/(5!*2!)=(7*6)/(2*1)=42/2=21

._4 C_0=(4¦0)=4!/(4!*0!)=1/1=1

f(x)=∑▒〖P(X=x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) 〗

f(x)=∑▒〖P(X=x)=6/55+28/55+21/55=〗 55/55=1

f(x)=∑▒〖P(X=x)=〗 1

Por lo tanto, la función f(x) es una función de probabilidad.

b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x)

Valor esperado

E(x)=∑_x▒[x*f(x)]

E(x)=(0*6/55)+(1*28/55)+(2*21/55)

E(x)=(0)+(28/55)+(42/55)

E(x)=70/55=1.27

La varianza

V(x)=∑_x▒[x^2-f(x) ] -E^2 (x)

V(x)=[(0^2-6/55)+(1^2-28/55)+(2^2-21/55) ]-(1.27)^2

V(x)=[(0-6/55)+(1-28/55)+(4-21/55) ]-(1.6129)

V(x)=[-6/55+27/55+199/55]-(1.6129)

V(x)=220/55-(1.6129)

V(x)=4-1.6129

V(x)=2.3871

Desviación estándar

S(x)=√(V(x) )

S(x)=√(2.3871)

S(x)=1.545

2.- Suponga que los editores de una revista desean aumentar sus suscriptores. Para ello envían un número aleatorio de cartas invitando a las personas a suscribirse. De las personas que la reciben un gran número ni siquiera la leen o la botan, pero otros la leen y responden. Si la proporción de personas que responden a la invitación (0 = %, 1 = 100%) es una variable aleatoria continua X, cuya función de densidad es:

f(x)={█((2(x+2))/5 0≤x≤1@ 0 en otro caso)┤

a.- Verifique que en efecto f(x) es una función de densidad de probabilidad.

Para verifique que f(x) es una función de densidad de probabilidad debemos ver que el área bajo la curva sea de 1. Para esto utilizamos

P(0≤x≤1)=∫_0^1▒f(x)dx

∫_0^1▒f(x)dx=∫_0^1▒〖(2(x+2))/5 dx=〗 2/5 ∫_0^1▒〖(x+2)dx=2/5 ├ (x^2/2+2x) ┤|_0^1=〗

2/5 (1^2/2+2(1))-2/5 (0^2/2+2(0))=2/5 (1/2+2)-2/5 (0)=2/5 (5/2)=1

Luego la función si es de densidad de probabilidad.

b.- Calcule la probabilidad de que entre 30% y 60% de personas que reciben la carta, la respondan.

Para este caso debemos realizar la misma integral pero esta vez con límites de 0.3 a 0.6, así:

P(0.3≤x≤0.6)=∫_(0.3)^(0.6)▒f(x)dx

∫_(0.3)^(0.6)▒f(x)dx=∫_(0.3)^(0.6)▒〖(2(x+2))/5 dx=〗 2/5 ∫_(0.3)^(0.6)▒〖(x+2)dx=2/5 ├ (x^2/2+2x) ┤|_(0.3)^(0.6)=〗

2/5 ((0.6)^2/2+2(0.6) )-2/5 ((0.3)^2/2+2(0.3) )=2/5 ((0.36)/2+1.2)-2/5 ((0.09)/2+0.6)

=2/5 ((2.76)/2)-2/5 ((1.29)/2)=(2.76)/5-(1.29)/5=(1.47)/5=0.294*100%=29.4%

La probabilidad de que las personas que reciben la carta, la respondan es de

29.4% .

3.- Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno accidentado, se encuentra que el 25% de los camiones finalizan la prueba con daños en los neumáticos. De los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que:

a.- De 3 a 6 tengan daños en los neumáticos.

En este caso encontramos una distribución binomial, así:

P(X=x)=f(x;p,n)= (n¦x)*p^x*〖(1-p)〗^(n-x)

Luego: p=25/100=0.25 n=15 q=1-p=1-0.25=0.75 x=3,4,5,6

P(X=x)=f(x;0.25,15)= (15¦x)*(0.25)^x*〖(0.75)〗^(15-x)

La probabilidad de que 3 camiones tengan daños en los neumáticos, es:

P(X=3)=f(3;0.25,15)= (15¦3)*(0.25)^3*〖(0.75)〗^(15-3)

P(X=3)=f(3;0.25,15)= 455*(0.015625)*〖(0.75)〗^12

P(X=3)=f(3;0.25,15)= (7.109375)*(0.031676)

P(X=3)=f(3;0.25,15)= 0.225199

._15 C_3=(15¦3)=15!/(12!*3!)=(15*14*13)/(3*2*1)=2730/6=455

La probabilidad de que 4 camiones tengan daños en los neumáticos, es:

P(X=4)=f(4;0.25,15)= (15¦4)*(0.25)^4*〖(0.75)〗^(15-4)

P(X=4)=f(4;0.25,15)= 1365*(0.003906)*〖(0.75)〗^11

P(X=4)=f(4;0.25,15)= (5.332031)*(0.042235)

P(X=4)=f(4;0.25,15)= 0.225198

._15 C_4=(15¦4)=15!/(11!*4!)=(15*14*13*12)/(4*3*2*1)=32760/24=1365

La probabilidad de que 5 camiones tengan daños en los neumáticos, es:

P(X=5)=f(5;0.25,15)= (15¦5)*(0.25)^5*〖(0.75)〗^(15-5)

P(X=5)=f(5;0.25,15)= 3003*(0.000976)*〖(0.75)〗^10

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