Una Guia funciones.

FUNCIONES

Dados dos conjuntos A y B. Se dice que f es una función definida en el conjunto A y tomando valores en el conjunto  B  , si a cada elemento de  A se le asigna uno y sólo un elemento de B. Se representa por f : A  → B

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El conjunto A recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, y se representa por Dom (f).

Un elemento cualquiera del conjunto A se representa por la letra x, y es la variable independiente de la función.

Cada elemento x de A tiene por imagen, mediante la función f, a un elemento de B que se representa por y ;  y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x). El conjunto B es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de A forman el conjunto imagen (Im(f)) o recorrido de la función (f(A)).

                                [pic 13]

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Sea  f : A  → B una función

Diremos que f es una función de variable real si el conjunto A en que la variable independiente (es decir la  x) toma valores es un subconjunto de los reales (A ⊆ IR)

f Se llama función real de variable real si los valores que toma la función (o sea los valores que toma “y” ó  f(x)) son números reales, es decir B ⊆ IR.

Podemos, entonces, decir que estamos ante una función real de variable real si tanto los valores que toma la “x” como los valores que toma f(x) son ambos números reales.

                                [pic 14]     ;    D ⊆ IR

                                [pic 15]

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar :

• El conjunto inicial o dominio de la función.
• El conjunto final o imagen de la función (El conjunto final o conjunto de llegada a veces recibe el nombre de codominio de la función)
• La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Rango o Recorrido de f: es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida.

Para entender mejor la diferencia entre codominio y rango veamos el siguiente ejemplo:

[pic 16]

        Se puede ver que para todo elemento de A existe sólo una imagen en B.

        Luego para la función f denotada:

        Dominio = A = {a, b, c, d, e}                Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

        Rango o Recorrido  = {1, 2, 3, 4, 7}

        Los elementos {5 , 6} no son imagen de ningún elemento de A, luego no pertenecen al Rango de f.

PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN:

a)        Función Inyectiva: Una función de A en B se llama inyectiva (o una inyección) si está definida de tal manera que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B.

b)        Función Epiyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B es toda función f de A en B, en que todo elemento del codominio B es imagen de al menos un elemento del dominio A. Es decir, todos los elementos de B son imagen de algún elemento de A, también se dice que una función f es sobreyectiva si f(A) = B.

c)        Función Biyectiva: Una función f de A en B es biyectiva si la función f es tanto inyectiva como epiyectiva a la vez.

ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES

1)        Función de primer grado o función lineal.

[pic 17]        Es la función cuya gráfica corresponde a una recta de pendiente “m” y corta al eje Y en el punto de ordenada “n”

[pic 18]

f(x) = 3x – 5[pic 19]

Es una recta cuya pendiente

m = 3  y  que como n =– 5

debe cortar al eje Y en – 5

Gráfica de una función lineal

La función  Y = mx +n  normalmente la encontraremos expresada en la forma de igualdad, tal como la conocimos en 2° año Medio : ax + by = c ,  (como una ecuación de primer grado con 2 incógnitas ) donde a, b, c  ∈  R , representa una línea recta cuyas soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

Ejemplo : la ecuación  L :  x + y = 4[pic 20]

La expresamos como una función despejando la “y”

y = - x + 4

Tabla de valores                                           Gráfico

[pic 21]

Se denomina pendiente “m” de una recta a la  inclinación “α” que tiene la recta con respecto del eje de las abscisas (eje x)

                m = [pic 22]

Puntos de intersección de una recta con los ejes coordenados

[pic 23]

Según la gráfica que se muestra a continuación, los puntos donde la recta L corta al eje x son de la forma (x, 0) y donde corta al eje y , de la forma (0, y).

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