Unión de conjuntos

Unión de conjuntos

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los números impares positivos I:

Ejemplo.

Sean A = {a, ♠, 5} y B = {8, #}. Su unión es A ∪ B = {5, #, a, ♠, 8}.

Considerando los conjuntos de números naturales C = {n: n es un número primo} y D = {m: m es un número compuesto}. Su unión es entonces, ya que el único número natural que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.

En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tener elementos repetidos:n 1

Generalizaciones

La unión de una colección finita de conjuntos A1, ..., An es el conjunto que contiene todos los elementos de cada conjunto en dicha colección:

Y esta se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión de dos conjuntos (más abajo). De este modo, para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante:

Propiedades:

De la definición de unión puede deducirse directamente:

Idempotencia. La unión de un conjunto A consigo mismo es el propio A :

Tanto A como B son subconjuntos de su unión:

La unión de un conjunto A con un subconjunto suyo B lo deja inalterado:

La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:

Propiedad asociativa. La unión de los conjuntos A y B ∪ C es igual que la unión de los conjuntos A ∪ B y C :

Propiedad conmutativa. La unión de los conjuntos A y B es igual a la unión de los conjuntos B y A :

Elemento neutro. La unión de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es el mismo conjunto A:

Unión de conjuntos

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D :

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Ejemplo.

Sean A = {5, λ, ♠, c} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A ∩ B = {5, c}.

Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección esC ∩ D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} = {8, 64, 512, ...}.

Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.

Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos:

Diferencia de conjunto:

En teoría de conjuntos, la diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iníciales que no estén en el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A \ B ó A − B, por lo que: N \ P = I, y también P − N = ∅

La diferencia de A menos B (o entre A y B) es otro conjunto A \ B (o también A − B) cuyos elementos son todos aquellos elementos de A que no lo sean de B:

La diferencia entre A y B también se denomina complemento relativo de B en A, y se denota ∁AB, cuando el segundo es un subconjunto del primero. Este nombre proviene de la relación entre las operaciones de diferencia y complemento (ver más abajo). La norma ISO da preferencia a la notación con barra invertida.

Ejemplo.

Sean A = {♠, 5, z, R, 0} y B = {0, p, 9, z, Δ}. Sus diferencias son A \ B = {♠, 5, R} y B \ A = {p, 9, Δ}

Sean los conjuntos de números naturales P = {n: n es par} y P = {n: n es primo}. La diferencia P \ P es entonces {n: n es par y no es primo} = {n: n es par y compuesto} = {4, 8, 6, ...}. Por otro lado,P \ P = {n: n es primo y no es par} = {n: n es primo e impar} = {3, 5, 7, 11, ...}.

En la introducción se mostró que la diferencia P \ N es el conjunto vacío. Además, P \ I es igual a P: ningún número par es

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