Predicciones

1.- Encuentra la función que modela el crecimiento de una población

de bacterias que se producen por fisión ternaria cada 25 minutos, si se

sabe que después de cinco horas hay 13, 286,025 bacterias en el

cultivo.

a).-Encuentra cuantas bacterias se colocaron inicialmente en el cultivo.

b).- Escribe la función exponencial que modela el crecimiento en

función del tiempo.

Solución:

La función debe ser de la forma

P P art 0 

donde:

P es la población de bacterias en cualquier tiempo t medido en horas.

Po es la población inicial de bacterias en el momento t = 0.

a es la base de reproducción de las bacterias. Si se duplican las

bacterias entonces a = 2; si se triplican las bacterias entonces a = 3;

si se quintuplican entonces a = 5 y así sucesivamente.

r es la razón o tasa de reproducción de las bacterias. Es igual a r =

1/tr, en donde tr ,es el tiempo en horas que tardan las bacterias en

duplicarse, triplicarse o quintuplicarse según sea el caso.

t es el tiempo medido en horas.

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i) Como la población inicial es desconocida tenemos: P0.

ii) Como se triplica la bacteria, la base de la función exponencial

deberá ser 3.

iii) Como la tasa o razón de crecimiento de triplicado es de cada 25

minutos, es decir, 12

5

de una hora, entonces 5

12

r 

.

MCCVT UNIDAD 3 Adaptación de Eric Paredes V. Página 2

Nota: Observa que el valor de r es un número inverso al tiempo en

que se triplica la población.

iv) Por tanto las 13, 286,025 bacterias serian igual a:

t

P 5

12

13,286,025  ( 0 )3

v) Para t = 5 horas tenemos:

13,286,025 ( )3 ( )3 ( )531,441 0

12

0

(5)

5

12

0  P  P  P

Despejando P0 tenemos:

25

531,441

13,286,025

0 P  

Po = 25 es la población inicial de las bacterias.

Po = 25 bacterias iniciales.

b) La función exponencial que muestra el crecimiento de las bacterias

es:

t

P 5

12

 (25)3

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2.- La siguiente tabla representa una función exponencial del tipo:

f(n) = kan .

n 0 1 2 3 4 5

f(n) ¿??? 13.2 58.08 255.552 1124.428 ¿???

a).-Determina la función exponencial que representa los valores de la

tabla.

b).- Determina el valor de f(n) cuando n es igual a 0.

c).- Determina el valor de f(n) cuando n es igual a 5.

Solución:

MCCVT UNIDAD 3 Adaptación de Eric Paredes V. Página 3

a).- Dado que la función es de la forma f(n) = kan y en donde los

parámetros a conocer son k y a, entonces solo es necesario conocer

dos 2 conjuntos de datos de la tabla.

Seleccionemos las parejas de datos (1,13.2) y (2, 58.08)

Si los sustituimos en la ecuación f(n) = kan tenemos dos ecuaciones

con 2 incógnitas:

13.2 = k a1 = ka ……… ecuación (1).

58.08 = k a2 …………. ecuación (2).

De la ecuación (1) despejamos a en función de k;

13.2

a =

k

……………….(3)

Sustituimos la ecuación (3) en la ecuación (2) y tenemos:

2

2 13.2

580.08 = ka = k

k

 

 

 

Realizando las operaciones indicadas y simplificando tenemos:

2

174.24 174.24

580.08 = k =

k k

 

 

 

De donde podemos despejar k:

174.24

k = = 3

58.08

Por lo tanto ya tenemos el valor de k.

k = 3.

Ahora sustituimos el valor de k en la ecuación (3) y tenemos el valor

de a:

MCCVT UNIDAD 3 Adaptación de Eric Paredes V. Página 4

13.2

a = = 4.4

3

a = 4.4

y por lo tanto ya tenemos los valores de los parámetros de k y a, que

podemos sustituir en nuestra ecuación inicial:

f(n) = 3(4.4)n

b).- El valor de f(n) para n = 0 se obtiene solo sustituyendo en la

ecuación obtenida:

f(0) = 3 (4.4)0 = 3(1) = 3.

f(0) = 3.

c).- El valor de f(n) para n = 5 se obtiene solo sustituyendo en la

ecuación obtenida:

f(5) = 3 (4.4)5 = 3(1,649.164) = 4,947.486

f(5) = 4,947.486.

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3.- Estás pensando en realizar una inversión de $2,000 en el Banco

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tu inversión cada día.

a).-Determina la expresión matemática para calcular el dinero que

tendrás al cabo de 365 días.

...