Teorema De números

1.- INTRODUCCIÓN

De todas las ramas de las matemáticas, ninguna parece tan natural como la teoría de números. Los números, aunque parezcan inocentes, son el origen de algunos de los más profundos e intricados problemas de las matemáticas. Daremos algunos ejemplos de problemas abiertos sobre este tema. La conjetura de Goldbach1 afirma que todo número entero par puede escribirse como suma de dos números primos y todo número impar como suma de tres números primos. Otra conjetura es la que dice que entre un número y su doble siempre existe un número primo. En este artículo hablaremos de otro gran secreto matemático: los números perfectos. Antes de continuar definiremos el concepto de número por defecto, número perfecto y número por exceso.

2.- DEFINICIONES PREVIAS

Definición 1.- Se conoce como divisores propios de un número n natural al conjuntos de todos los divisores de n excepto el propio n. Representamos la suma de los divisores propios de n con #(n)

Definición 2.- Decimos que un número n natural es por defecto si #(n) < n Definición 3.- Decimos que un número n natural es por exceso si #(n) > n Definición 4.- Decimos que un número n natural es perfecto si #(n) = n

Vamos a dar unos ejemplos:
15 es un número por defecto, ya que #(15) = 1 + 3 + 5 = 9 < 15
24 es un número por exceso, ya que #(24) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 36 > 24
28 es un número perfecto, ya que #(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 2n,connnatural,esunnúmeropordefecto,yaque#(2n)=1+2+...+2n-1 =2n –1<2n

Definición 5.- A los números que cumplen la propiedad que la suma de sus divisores propios suman una unidad menos que el propio número se les conoce como números débilmente por defecto. Formalmente, un número natural n se dice que es débilmente por defecto si #(n) = n – 1. Análogamente, a los números cuyo divisores propios suman una unidad más que el propio número, es decir, que #(n) = n + 1 se les conoce como números débilmente por exceso.

Se conocen muchos números débilmente por defecto, como por ejemplo 2n con n natural. Como ejercicio para el lector, podría encontrar algún número débilmente por defecto que no sea de la forma 2n o probar que todo número débilmente por defecto es necesariamente de la forma 2n para algún n natural.

No se conoce ningún número que sea débilmente por exceso. Tampoco se ha probado que no exista ninguno. Esta vez no pediré al lector que pruebe esto.

Se podría pensar que considerar el 1 como divisor propio carece de interés, ya que 1 divide a cualquier número natural. Si no consideramos la unidad en la definición de #(n), no tendríamos ejemplos de número perfectos y no podríamos continuar con este artículo.

Los números 6, 28, 496 y 8.128 eran los cuatro únicos números perfectos que se conocían en la antigua Grecia, también sabían que no había ningún número perfecto además de éstos menor que 10.000. Efectivamente, el quinto número perfecto es 33.550.336.

Junto al sentido matemático de los números perfectos, estos siempre han llevado asociado un sentido filosófico. El 6 es el primer número perfecto. En muchas culturas el 6 tenía un significado especial. Para los antiguos griegos el número 6 representaba la perfecta unión de los dos sexos, porque 6 = 3 · 2, donde el 3 es un número masculino y dos es femenino (por razones que deben ser evidentes excepto para los que ignoran la anatomía). El 6 también tiene importancia en la religión, se dice que Dios creó el mundo en 6 días y que el séptimo descansó. El 28 también está relacionado con el ciclo de la luna y muchos fenómenos de la naturaleza se rigen por ella.

Definición 6.- Se dice que el par de números n y m, son amigos si #(n) = m y #(m) = n.

Se puede ver que un número perfecto siempre es amigo de si mismo. Cuando hablamos de una pareja de número amigos, supondremos que son distintos. Hasta el nacimiento de Euler2 tan solo se conocían tres parejas de números amigos. La pareja más pequeña es 220 y 284. Euler propuso 60 nuevas parejas, de las cuales 59 eran correctas.

Ahora vamos a dar la definición de la función de Euler, la cual nos permitirá calcular número perfectos y amigos más rápidamente3.

Definición 7.- Definimos la función de Euler como la suma de los divisores de n. De forma más compacta, escribimos 3.- TEOREMAS

Teorema 1.-

i) Un número n natural es por defecto si y sólo si < 2n
ii) Un número n natural es por exceso si y sólo si > 2n
iii) Un número n natural es perfecto si y sólo si = 2n
iv) Dos número n y m son amigos si y sólo si = m + n = Demostración: Únicamente hay que ver que = #(n) + n

La tarea de buscar números perfectos no es fácil, aunque hoy en día contamos con dos con herramientas que no tenían los antiguos griegos; los computadores y el teorema de Euclides4 – Euler

Teorema 2 (Teorema de Euclides).-

Si 2k –1 es primo, entonces 2k-1 · (2k –1) es un número perfecto.
Demostración:
Llamamosp=2k –1yn=2k-1 ·(2k –1)=p·(2k-1).
Los únicos divisores propios de n son 1,2,4,... ,2k-1,p, 2p, 4p, ...., 2k-2 · p y por tanto, #(n)=1+2+4+...+2k-1 +p+2p+4p+...+2k-2·p=2k-1+p·(2k-1-1)=p+p·2k-1 –p=p·2k-1 =n. Como #(n) = n, n es un número perfecto.

Euclides nos da una condición suficiente para que un número sea perfecto, es decir, que nos dice una manera de encontrar números perfectos. Si encontramos un número primo de la forma p = 2k –1, habremos encontrado un número perfecto aplicando del Teorema de Euclides. A los números primos de esta forma se les conoce como primos de Mersenne5.

No estamos diciendo que sea la única manera de encontrar número primos. Si esto fuera cierto, el problema de encontrar números perfectos, estaría sustituido por el problema de buscar números primos de Mersenne.

Teorema 3.-

Si p = 2k –1 es un primo de Mersenne entonces k es un número primo.
Demostración:
Probaremos que si k no es primo, entonces p = 2k –1 no es un primo de Mersenne. Sea k = a · b, entonces

p = 2k –1= (2a)b–1 = [2a –1] · [(2a)b-1+ (2a)b-2+ (2a)b-3+...+ (2a)+1] y por lo tanto p no es primo ya que tiene a 2a –1 como factor.

Si el reciproco del problema fuera cierto, el problema de encontrar primos de Mersenne se reduciría al problema de encontrar número primos, pero desgraciadamente esto no ocurre así. El contraejemplo más pequeño lo tenemos para k = 11, ya que 211 – 1 =2047=23·89quenoesprimo.

En 1.772 Euler descubrió que 231-1 era un número primo y por lo tanto 230 · (231-1) = 2.305.843.008.139.952.128 es un número perfecto. Hasta ahora sólo se conocen 39 primos de Mersenne.

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