APLICACIONES DE LA ECUACION DIFERENCIAL

Facultad de Ingeniería

Escuela de profesional de

Ingeniería Industrial

APLICACIONES DE LA ECUACION DIFERENCIAL

ORDINARIA

Curso : MATEMÁTICA II

Docente : COTRINA LEÓN MARIA

Alumnos :

PAREDES MARTELL, AMANDA

INFANTE CASTRO, PIERINA

SOTO AZABACHE, STEFANY

VÁSQUEZ RAMOS CARLOS ALBERTO

Ciclo :

III

Trujillo – Perú

2013- II

INTRODUCCION

Las ecuaciones diferenciales fueron inicialmente tratadas por Newton para estudiar el movimiento planetario, luego fue progresando a medida que se afianzo en la ciencia natural, especialmente en la física con problemas importantes como, la ley de Newton, las ecuaciones de Euler para la hidrodinámica, la ecuación de calor por Fourier, etc.

Actualmente las ecuaciones diferenciales no solo se utilizan en el campo de la física, sino también en la Ingeniería, de la química, economía, agronomía, etc. de ahí que su estudio sea indispensable para la especulación de toda ciencia natural.

APLICACIÓN A LA FISICA

Determinar el recorrido S por un cuerpo durante el tiempo t, Si su velocidad es proporcional a su trayectoria, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo recorre 100 mts. Y en 15 segs. 200 mts.

SOLUCION

S= el camino recorrido; t=tiempo en segundos

V =ds/dt = velocidad del cuerpo

La descripción matemática es: ds/dt= ks

La solución de la ecuación diferencial es:

S= A e^kt

Para t = 10seg. S = 100 mts.

Reemplazando se tiene:

=Ae^10t A =100/e^10k ………. (1)

Para t = 15 seg. S=200 mts.

Reemplazando se tiene:

200 =Ae^15t A =200/e^15k ………. (2)

Igualando 1 y 2 se tiene

K =(ln⁡(2))/5

Reemplazando en 1 y 2 se tiene que A = 25

Luego el camino recorrido es: S = 〖25.2〗^(t/5)

Esbozar la ecuación del recorrido “x” de un cuerpo durante el tiempo “t”, sabiendo que su velocidad es inversamente proporcional al trayecto. Además se sabe que en 20 seg. El cuerpo recorre 300 mts y en 30 seg. 250 mts.

SOLUCIÓN:

dx/dt=(k )/x

xdx=kdt

∫▒〖xdx=k∫▒〖dt 〗 〗

x^2/2=k.t+c

x(20)=300 x(30)=250

〖300〗^2/2=20k+c 〖250〗^2/2=30k+c

45000=20k+c….. (1) 31250=30k+c…. (2)

Reemplazamos (1) en (2):

(-) 45000=20k+c c=45000-20(-13750)

31250=30k+c c=72500

-13750=10k

K=-1375

x^2/2=k.t+c

x^2/2=72500-1375t

x^2=145000-2750t

X (t)=√(145000-2750t)

APLICACIONES DE MEZCLAS (salmuera)

Se tiene un tanque con 500 gal de agua y le entra salmuera con 2 lb de sal por gal a un flujo de 5 gal/min, la mezcla homogénea solo a un flujo de 10 gal/min.

Calcule la concentración de sal en cualquier instante “t”.

SOLUCION

F1= 5 gal/min

C1=2 lb/gal

F2=10 gal/min ; C2=x/(500-(10-5)t)

C2=x/(500-5t)

dx/dt=5(2)-10(5/(500-5t))

dx/dt=10-2x/(100-t)

dx/dt=10+ 2x/(6-100)

dx/dt-( 2x/(t-100)) x=10

X-∫_e^-▒2dt/(t-100) [∫ ∫_e^-▒〖2dt/(t-100 )*10dt+c〗]

X= e^(2ln⁡(t-100)) [∫^(e^(-2ln⁡(t-100)))▒〖*10dt+c〗]*(t-100) 〖^2〗 [∫▒( 〖t-100)〗^(-2) 10dt+c]

X= (〖t-100)〗^2 [∫▒〖10dt/〖(t-100)〗^2 +c〗] = 〖(t-100)〗^2 [-10/(t-100)+c]

X= c 〖(t-100)〗^2- 10 (t -100)

X= 1000-10t + C 〖(t-100)〗^2

Se tiene un tanque con 300 galones de salmuera y 50 lb de sal disuelta. Otra solución de salmuera entra al tanque con una razón de 3 galón/min; la concentración de sal que entra es 2 lb/gal. Cuando la solución en el tanque está bien mezclada, sale con la misma rapidez con la que entra. Hallar la cantidad de sal “x” en cualquier instante “t”.

SOLUCION

F1= 3 gal/min

C1=2 lb/gal

F2=3 gal/min

C2=x/300gal

dx/dt=F1C1-F2C2

dx/dt=3(2)- 3 x/300

dx/dt=6 - x/100

dx/dt-( (600-x)/100)

dx/(x-600)= dt/100

∫▒dx/(x-600)=-∫▒dt/100

Ln(x-600) = t/100 + C

X-600= e^(c- t/100)

X= 600 +e^c- e^(t/100)

X= 600 -〖ce〗^((-t)/100)

Para las condiciones iniales:

X (0) =50

50=600 +e^(0⁄100)

C=-550

X (t) =600 -550 +e^((-t)/100)

EJERCICIOS PROPUESTOS

Cierta cantidad de una sustancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kgr. De sal se somete a la acción de 30 litros de agua. Después de 5 minutos se disuelve 1 kgr. De sal. Dentro de cuánto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal?

En cualquier instante para una solución que consta inicialmente de 200 litros de agua con 30 gramos de sal. A esta solución le entra una solución de agua con sal a una tasa de 4litros/min con una concentración de 1gramo/litro y le sale la mezcla a una tasa de 4 litros/min. Encontrar la cantidad de soluto en cualquier instante “t”.

En

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