Análisis numérico es encontrar soluciones "aproximadas"

INTRODUCCIÓN

En este proyecto encontraremos, teoría respecto a los métodos numéricos donde se desarrollaran los contenidos, también encontraremos una variedad de teorías y teoremas, como también ejemplos de cada caso.

También encontraremos las teorías de los tres métodos numéricos, también tendremos ejemplos de cada método numérico.

Es importante leer y entender cada método numérico, estos métodos numéricos nos sirven para una gran utilidad y resolución de problemas.

OBJETIVOS

Comprender los métodos numéricos más utilizados para resolver problemas en ingeniería.

Usar el análisis numérico para la solución de problemas de ingeniería.

Definir dónde se utilizan los métodos numéricos.

Describir los pasos para la programación de métodos numéricos.

Es aprender sobre la teoría de los tres métodos numéricos requeridos.

Poder desarrollar ejercicios y resolverlos mediante los métodos numéricos, como también saber su teoría y utilidad.

Poder reconocer la diferencia entre cada método y su utilidad.

MÉTODOS NUMÉRICOS

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para "aproximar" de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones "aproximadas" a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

MÉTODOS NUMÉRICOS ECUACIONES NO LINEALES

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Este método se utiliza para encontrar aproximaciones que converjan hacia la raíz que buscamos, por medio de iteraciones, que no es otra cosa que comenzar con un valor cercano a cero, y después ir hallando las rectas tangentes a la función que se nos plantea, hasta que encontremos uno que se aproxime lo suficiente a la raíz.

Grafica 1

x_(n+1)= x_n- (f (x_n))/(f´(x_n))

Ecuación general Newton Raphtson 1.1

EN MATLAB:

function[x,fx,xx] = newton(f,df,x0,Tolx,MaxIter)

%newton.m to solve f(x) = 0 by using Newton method.

%input: f = =ftn to be given as a string 'f' if defined in an M-file

% df = df(x)/dx (if not given, numerical derivate is used)

% x0 = the initial guess of the solution

% Tolx = the upper limit of |x(k)- x(k-1)|

% MaxIter = the maximum # of iteration

% output: x = the point which the algorithm has reached

% fx = f(x(last)), xx = the history of x

h =1e-4; h2 =2*h; TolFun=eps;

if nargin == 4 && isnumeric(df), MaxIter = Tolx; Tolx =x0;x0 = df, end

xx(1)= x0;fx =feval(f,x0);

for k = 1:MaxIter

if - isnumeric(df),dfdx = feval(df,xx(k));%derivative function

else dfdx = (feval(f,xx(k)+h)-feval(f,xx(k)-h))/h2;%numerical drv

end

dx =-fx/dfdx;

xx(k+1)=xx(k)+dx;%Eq.(4.4.2)

fx = feval (f,xx(k+1));

if abs(fx)<TolFun | abs (dx) <Tolx, break;end

end

x = xx(k+1)

if k == MaxIter,fprintf('The best in %d iterations\n', MaxIter), end

EJEMPLO 01:

Encuentre una raíz real de la ecuación:

f(x)= x^3+2x^2+10x-20 ; mediante el método de Newton Raphson, x_0=1 , con ε= 〖10〗^(-3) aplicado a | x_(i+1)- x_(i ) |

Solución:

Se sustituye f(x) y f´(x) en 1.1

x_(i+1)= x_i- (x_i^3+2x_i^2+10 x_i-20)/(3x_i^2+4 x_i+10)

Primera iteración:

x_1= 1- ((1)^3+2 (1)^2+10 (1)-20)/(3 (1)^2+4 (1)+10)=1.41176

Como x_1 ≠ x_0 , se calcula x_2

Segunda iteración:

x_2= 1.41176- ((1.41176)^3+2 (1.41176)^2+10 (1.41176)-20)/(3 (1.41176)^2+4 (1.41176)+10)

=1.36934

Con este proceso obtenemos la siguiente tabla:

I x_i | x_(i+1)- x_i |

0 1.0000

1 1.4118 0.4118

2 1.3693 0.0424

3 1.3688 0.0005

4 1.3688 0.0000

Ahora empleando MATLAB:

>> f1=inline('x^3 +2*x^2 + 10*x - 20','x')

>> f2=inline('3*x^2 + 4*x + 10','1')

>> [x,fx,xx] = newton(f1,f2,1,1e-4,50)

>>plot(xx)

EJEMPLO 02:

Encuentre una raíz real de la ecuación:

f(x)= 〖8x〗^3+3x^2+4x-5 ; mediante el método de Newton Raphson, x_0=1 , con ε= 〖10〗^(-3) aplicado a | x_(i+1)- x_(i ) |

Solución:

Se sustituye f(x) y f´(x) en 1.1

x_(i+1)= x_i- (〖8x〗_i^3+3x_i^2+4x_i-5)/(24x_i^2+6 x_i+4)

Primera iteración:

x_1= 1- (〖8(1)〗^3+3 (1)^2+4 (1)-5)/(24 (1)^2+6 (1)+4)

=0.70588

Como x_1 ≠ x_0 , se calcula x_2

Segunda iteración:

x_2= 0.70588- (〖8(0.70588)〗^3+3(0.70588)^2+4 (0.70588)-5)/(24(0.70588)^2+6 (0.70588)+4)

=0.60029

Con este proceso obtenemos la siguiente tabla:

I x_i | x_(i+1)- x_i |

0 1.00000

1 0.70588 0.29412

2 0.60030 0.10550

3 0.58720 0.01310

4 0.58701 0.00019

5 0.58701 0.00000

Ahora empleando MATLAB:

>> f3=inline('8*x^3 +3*x^2 + 4*x - 5','x')

>> f4=inline('24*x^2 + 6*x + 4','1')

>> [x,fx,xx] = newton(f3,f4,1,1e-4,50)

>>plot(xx)

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

El método de la bisección tiene como base el teorema del valor intermedio en particular si f(x) es una función continua en un intervalo

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