Aplicacion De Integrales En Trabajo Presion Hidrostatica

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN TRABAJO Y PRESIÓN HIDROSTÁTICA

TRABAJO MECÁNICO

 En física, cuando una fuerza constante F desplaza un objeto una distancia d, en la misma dirección de la fuerza, el trabajo (mecánico) realizado se define como el producto W=Fd.

 Supóngase que P es la partición

a = xo < x1 < x2 <… < xn = b y que

Dxk es la longitud del k-ésimo subintervalo [ xk-1 , xk ].

 Supóngase que P es la partición

a = xo < x1 < x2 <… < xn = b y que Dxk es la longitud del k-ésimo subintervalo [ xk-1 , xk ].

 Sea x*k elegido arbitrariamente en cada subintervalo.

 Si los números Dxk son pequeños, se puede considerar como constante la fuerza que actúa sobre cada subintervalo. Por consiguiente el trabajo realizado de xk-1 a xk está dado por la aproximación:

DWk= F(x*k ) Dxk

 Así que, una aproximación al trabajo realizado desde a hasta b es:

F(x*1)Dx1+ F(x*2)Dx2+ …+ F(x*n)Dxn

 Es decir:

 Es natural suponer que el trabajo exacto realizado por F sobre el intervalo es:

 Sea F continua en el intervalo [a,b] y supóngase que F(x) representa la fuerza en un valor x del intervalo. Entonces el trabajo W realizado por la fuerza al mover un objeto desde a hasta b es:

PROBLEMA

 Se requiere una fuerza de 130 N para estirar un resorte de 50 cms. Determinar el trabajo realizado al estirar el resorte 20 cms más allá de su longitud natural (sin estirar).

 La ley de Hooke establece que cuando un resorte se estira (o se comprime) más allá de su longitud natural, la fuerza restauradora elástica ejercida por el resorte es directamente proporcional a la magnitud del alargamiento (o acortamiento) F(x) = kx.

 Cuando la fuerza se mide en N, la distancia se mide en mts.

 Puesto que x= 0.5 mts. cuando F=130 N entonces: F=kx nos determina que k=260 N/m.

 El trabajo realizado al estirar 20 cms el resorte será:

Determinación del trabajo

Si una fuerza constante F actúa sobre un objeto desplazándolo una distancia x, a lo largo de una línea recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido, es decir:

W = F× x

Sin embargo, cuando la fuerza no es constante, por ejemplo, cuando se contrae o estira un resorte, el trabajo no se puede expresar en forma tan simple, pues la fuerza dependerá de la posición que ocupe el objeto sobre el cual actúa. Si conocemos la función que relaciona a la fuerza con la posición, F = f(x) (dejando para su estudio personal el planteamiento formal de dividir el intervalo en que actúa la fuerza en segmentos, etc.), podemos plantear entonces que:

EJEMPLO 1

El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal, nos proporciona un ejemplo del trabajo realizado por una fuerza variable. La ley de Hooke indica que la fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza necesaria para producir una elongación de x unidades, está dada por la expresión F = kx, donde k es la constante de proporcionalidad, que depende del material, del calibre (grosor), del alambre, de la temperatura, etc.

Ejemplo: Para producir una elongación de 0.01 m en un resorte de hacer se necesita aplicar una fuerza de 0.1 newton. Determine el trabajo necesario para comprimir el resorte 2 cm.

La determinación de la constante en la ley de Hooke se reduce a:

EJEMPLO 2

El trabajo relacionado con la compresión o expansión de un gas en un cilindro con un pistón. Esto se relaciona, por

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