Aplicacion de conicas geometria analitica

TALLER DE APLICACIONES DE LAS CONICAS

MARIA ALEJANDRA CARMONA ARIAS - 99031810830

REVISADO POR:

CARLOS ALBERTO ABELLO MUÑOZ

UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL

ARMENIA

Abril 27/2016

TALLER DE APLICACIONES DE LAS CONICAS

1. Una antena de satélite de TV consta de un plato parabólico con el receptor en su foco. El plato puede describirse girando la parábola [pic 3] con respecto de su eje de simetría, donde -6≤ x≤6 y  x  se mide en pies. ¿Qué profundidad tiene el plato, y donde debe clocarse el receptor con respecto de la parte inferior (vértice) del plato? Ver figura 1.

[pic 4]

Sol.  

•  Llevo al plano cartesiano:

[pic 5]

• Profundidad = P              
• Receptor = vértice

[pic 6] [pic 7] → [pic 8]

[pic 9]→ 4p=12 → p=3pies

•  F= (0,3)
• R/ La profundidad del receptor es de 3pies, y el receptor debe colocarse en               las coordenadas (0,3).

1. Se construye un panel solar para calentar agua con una hoja de acero inoxidable a la que se da forma de parábola (ver figura 2). El agua fluirá a través de una tubería situada en el foco de la parábola. ¿A qué distancia esta la tubería del vértice?

[pic 10]

Sol.

•  La distancia de la tubería al vértice es =p

•  Lo llevo al plano cartesiano

[pic 11]

• Ecuación de la parábola [pic 12], como la parábola pasa por el punto (3,1) entonces la satisface:

[pic 13]→  9=4p → [pic 14]

• R/ La distancia de la tubería al vértice es de [pic 15]m.

1. El cable de un puente en suspensión tiene forma de parábola. El cable se extiende sobre 200 pies de autopista. El cable de soporte más largo, en cada extremo del puente, mide 100 pies; el más corto a la mitad del puente mide 30pies. Determine la longitud del cable de soporte que está a 40 pies del cable de soporte más largo. Ver figura 3.

[pic 16]

• Lo llevo al plano cartesiano:

[pic 17]

• Ecuación de la forma: [pic 18] y V(0,30)
• Como la parábola pasa por el punto (100,100) la satisface:

[pic 19] → [pic 20] → [pic 21][pic 22]

[pic 23]

• Ecuación de la parábola: [pic 24]
• Para hallar la longitud del cable, evaluó la función en el punto (40,y)

[pic 25] → [pic 26] → [pic 27] →  [pic 28]

[pic 29]

• R/ La longitud del cable es de [pic 30]pies.

1. Un arco de un edificio tiene la forma de parábola. (ver figura 4) La altura del arco es de 30 pies y la base del arco es de 20 pies. ¿Qué ancho tiene la parábola a 10 pies por arriba de la base del arco?

[pic 31]

• Lo llevo al plano cartesiano:

[pic 32]

 • La ecuación de la parábola con eje principal y tiene la forma [pic 33].

• Como el punto (10,0) pertenece a la parábola, lo satisface:  

[pic 34] → [pic 35]→ [pic 36] → [pic 37]

[pic 38]

• Ahora evalúo el punto (x, 10)

[pic 39]→ [pic 40]→ [pic 41]

[pic 42]≈8,16

• El ancho de la parábola es 2x→ [pic 43]

• R/ El ancho es [pic 44]pies.

5. La figura 5 muestra un armazón arqueado de 80 metros de longitud con las alturas indicadas. Los “tirantes” verticales están a 10 m el uno del otro. Si tanto la parte superior como la parte inferior del arco son arcos de parábola, redondee hasta el metro más cercano la suma de longitudes de los tirantes verticales e inclinados.

[pic 45]

[pic 46]• Lo llevo al plano cartesiano:

• La ecuación de las parábolas con eje principal y son de la forma:

[pic 47].

Parábola 1: v (0,30)                               Parábola 2: v (0,16)

[pic 48]                                        [pic 49]

•     Como el punto (40,0) ∈ a ambas parábolas, las satisface:

        1600=4p (-32)                                   1600=4p (-16)

       [pic 50]                                     [pic 51]

        [pic 52]                                            [pic 53]           

• Entonces las ecuaciones de las parábolas son:

-[pic 54]                                   [pic 55]-[pic 56] 

...