Aplicaciones Algebra Lineal

INTRODUCCION

Por estática se entiende el estudio de los sólidos en equilibrio, cuyo enfoque esta dado fundamentalmente en el análisis de las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre un sólido indeformable. En contraste con la estática, la resistencia de materiales estudia y establece las relaciones entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los sólidos. Además, no supone que los sólidos son idealmente indeformables, como en la primera, sino que las deformaciones, por pequeñas que sean, tienen gran interés. Por consiguiente, la resistencia de materiales se ocupa del estudio de solidos elásticos deformables que, debido a su geometría y a sus condiciones trabajo o funcionamiento, admiten un análisis particular y simplificado. Así pues, la resistencia de un material puede describirse como la relación entre una fuerza (carga), una superficie y un esfuerzo. De esta manera, la resistencia de materiales sirve para ampliar el estudio de las fuerzas que se inició en estática, siendo obvia la diferencia entre ambas materias.

En efecto, para este trabajo se busca analizar otro gran campo de la resistencia de materiales, los cambios de forma, es decir, las deformaciones que acompañan a un determinado estado de fuerzas; siendo para este caso, las deformaciones producidas mediante esfuerzos de tracción y compresión. A partir de esto, añadir los conceptos de límite de proporcionalidad elástico, límite de elasticidad, límite de fluencia, esfuerzo último, esfuerzo de rotura y los módulos de elasticidad, introducidos al momento de enunciar las relaciones esfuerzo-deformación. De este modo, llegar a comprender el comportamiento y/o la resistencia de los diversos materiales utilizados en la práctica de laboratorio sabiendo que será de vital importancia para desarrollar las ecuaciones necesarias usadas en la mecánica de materiales.

OBJETIVO GENERAL

Determinar experimentalmente las propiedades mecánicas de varios materiales mediante la aplicación de esfuerzos de tracción y compresión y de esta forma realizar un análisis de los resultados obtenidos para las relaciones esfuerzo-deformación de cada material.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Especificar los diferentes conceptos que están adjuntos a las relaciones esfuerzo-deformación con una respectiva referencia teórica.

Presentar gráficos que representen la relación esfuerzo-deformación con valores reales y teóricos para cada uno de los materiales.

Determinar los diferentes valores de las propiedades mecánicas para cada material.

Obtener los valores de ductilidad, porcentaje de reducción de área y los módulos de resiliencia y tenacidad para los materiales dúctiles.

Realizar un cuadro comparativo que contenga la clasificación de los materiales frágiles y dúctiles así como sus diversas propiedades mecánicas obtenidas.

Elaborar un cuadro comparativo entre los valores experimentales y los valores teóricos y a partir de este establecer conclusiones a fines a los resultados.

MARCO CONCEPTUAL

Definición y Tipos de Esfuerzos

Esfuerzo sobre una superficie: Fuerza internamente distribuida sobre la superficie de un corte imaginario en un cuerpo.

Esfuerzo normal sobre una superficie: Fuerza internamente distribuida normal (perpendicular) a la superficie de un corte imaginario.

Esfuerzo de tensión: El esfuerzo normal que tira de la superficie en dirección contraria al cuerpo.

Esfuerzo de compresión: El esfuerzo normal que empuja a la superficie hacia al cuerpo.

Esfuerzo sobre una superficie:

σ= N/A

Siendo σ el esfuerzo normal, N la fuerza normal interna y A el Área de la sección transversal del corte imaginario sobre la que actúan N.

Definición y Tipos de Deformaciones

La deformación euleriana o unitaria se calcula a partir de:

ε = (Lf-Lo)/Lo  ε = (δ )/( Lo)

Donde ε es la deformación normal, Lo la longitud original de una línea, Lf la longitud final de esa línea y δ el cambio dimensional de la línea.

Deformación Plástica: La deformación permanente, cuando los esfuerzos son iguales a cero.

Deformación Elástica: La deformación no es permanente, el cuerpo recupera su forma original al retirar la fuerza que le provoca la deformación.

Tipos de Regiones

Región Elástica: La región de la curva de esfuerzo-deformación donde el material vuelve a su estado no deformado cuando se retiran las fuerzas aplicadas.

Región Plástica: La región en la que el material se deforma permanentemente.

Figura 1. Diagrama de Tracción del acero

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Fluencia#mediaviewer/File:Fluencia.jpg

MARCO TEÓRICO

En general, siempre que se realizan ensayos de laboratorio para someter a un espécimen a deformación y medir la carga requerida para producir la deformación se utiliza una máquina de ensayos como la de la Figura 2., la cual proporciona los datos para los diagramas de esfuerzo-deformación unitario (siendo estos últimos, fundamento para este informe), se obtienen aplicando una carga axial a un espécimen de prueba y midiendo simultáneamente la carga y la deformación.

Figura 2. Maquina universal de pruebas mecánicas.

Fuente: http://www.naratec.co.kr/pro14.htm

A su vez, los datos que proporcione la máquina, estarán definidos en la relación entre la carga aplicada por la máquina y la deformación que presente el espécimen, que dependerán de las dimensiones del espécimen, así como del tipo de material del cual está hecho el espécimen. A continuación se presenta la explicación de los elementos involucrados para una relación esfuerzo-deformación:

Figura 3. Diagrama esfuerzo-deformación.

Fuente: Vable M., 2003, pág., 89.

En el estudio de 2003, Vable explica la Figura 3., asegurando que una vez aplicada al espécimen la fuerza P, lo primero que se obtiene es la línea recta OA que se observa en la figura. El final de esta región lineal se llama límite de proporcionalidad. Algunos metales exhiben después del límite de proporcionalidad un ligero decremento del esfuerzo, como lo muestra la región AB. Luego, el esfuerzo vuelve a aumentar, como se muestra en la región BD. En un experimento de fuerza controlada, el espécimen se romperá súbitamente cuando la carga aplicada aumente hasta llevar el esfuerzo al punto D. En el punto de ruptura E es posible calcular la deformación, mas no el esfuerzo correspondiente. En un experimento de desplazamiento controlado podrá observarse el decremento en el esfuerzo de la curva DE. (pág. 89)

Adicionalmente, Vable aclara que si un espécimen se carga hasta cualquier punto a lo largo de la línea OA y después se procede a la descarga, se observara que vuelve a trazarse la curva esfuerzo-deformación hasta llegar al punto O. En otras palabras, el material recuperara su forma original si la fuerza aplicada se retira. Pero si la descarga se inicia después de alcanzado el punto C, lo que ocurrirá será un descenso por la línea recta FC, paralela a la línea recta OA. Aunque en el punto F el esfuerzo es igual a cero, la deformación es distinta de cero, lo que indica que el material se ha deformado permanentemente. De esta manera, en el punto C, situado en la región plástica, la deformación es la suma de la deformación plástica definida por OF y la deformación elástica definida por FG. Luego la deformación total en un punto es la suma de las deformaciones elástica y plástica. (2003, pág. 90)

Caracterización Teórica de la relación esfuerzo-deformación

Figura 4. Diagrama esfuerzo-deformación

Fuente: Pytel A. & Singer F., 1994, pág.28

Límite de Proporcionalidad Elástico: Según Vable, es el punto en el que el esfuerzo y la deformación se relacionan linealmente, es decir, cuando el esfuerzo máximo para el cual el esfuerzo y la deformación unitaria son proporcionales. También se define como el punto de la curva de esfuerzo-deformación unitaria donde se desvía de una línea recta. (2003, pag.89). El esfuerzo en el límite de proporcionalidad será igual a :

σ_prop= P_lp/A_O

Siendo σ_prop el esfuerzo en el límite de proporcionalidad, P_lp carga ejercida en el límite de proporcionalidad y A_O el área inicial mínima de la probeta.

Límite de Elasticidad: Según Pytel & Singer, se le denomina el esfuerzo más allá del cual el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda con una deformación residual llamada deformación permanente. (1994, pag.29)

Se puede hallar el esfuerzo en el límite de elasticidad mediante la relación del esfuerzo último y el módulo de elasticidad, así:

σ_e= σ_ult/E

Siendo σ_e el esfuerzo límite de elasticidad, σ_ult el esfuerzo ultimo y E el módulo de elasticidad.

Según Smith, el límite elástico también denominado esfuerzo de fluencia convencional a 0,2%, se determina a partir del grafico esfuerzo-deformación. Primeramente se dibuja una línea paralela a la parte elástica (lineal) del grafico esfuerzo-deformación una deformación de 0,002 pulg/pulg (mm/mm). Entonces en el punto donde la línea intercepta con la parte superior de la curva esfuerzo-deformación, se dibuja una línea horizontal

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