Aplicaciones De Trayectorias Ortogonales

Trayectorias Ortogonales

Una curva que corta a cada miembro de una familia de curvas en un ángulo recto se llama trayectoria ortogonal a la familia.

Dos familias de curvas f(x, y, C) = 0 y g(x, y,C) = 0 se denominan familias de trayectorias ortogonales si cada curva de una de ellas es una trayectoria ortogonal a la otra familia.

Determinar la familia de trayectorias ortogonales a una familia de curvas dada es de importancia en problemas de flujo de corriente eléctrica, hidrodinámica y flujo de calor.

Este método describe, entre otras, la interpretación física del estudio de campos eléctricos, ya que si en una placa fluye una corriente eléctrica, las líneas de flujo de corriente tienen como trayectorias ortogonales a las líneas de igual potencial.

Campo eléctrico

El campo eléctrico en un dado punto del espacio, está relacionado con las fuerzas que en dicho punto se ejercen sobre una carga testigo q, colocada en ese punto. Si la fuerza que en el punto de coordenadas (x, y) el campo eléctrico E ⃗(x,y) ejerce sobre la carga q es F ⃗(x,y). Según la definición de campo eléctrico tenemos:

F ⃗(x,y,z)=E ⃗(x,y,z)………………….. (1)

Como la fuerza es un vector y la carga q un escalar, resulta claro que E ⃗ es también un vector F ⃗. Por su parte el potencial eléctrico esta relacionado con el trabajo que se necesita hacer para llevar una carga de un punto a otro debido al campo eléctrico. Como el trabajo es una magnitud escalar, el potencial también lo es. Más específicamente la variación de potencial entre dos puntos próximos es:

dV=-dW/q=-1/q F ⃗(x,y)∙dl ⃗=-E ⃗l ⃗……………………………….. (2)

O sea que:

E_x=-dV/dx,

E_y=-dV/dy,

E_z=-dV/dz,

o más generalmente:

E=-[dV/dl]max……………………………….. (4) donde esta expresión significa que el módulo de E es igual a la derivada del potencial con respecto al desplazamiento, en la dirección que esta derivada es máxima. Además esta dirección es la dirección del campo E.

Vemos también que cuando dV=0, como ocurre sobre una línea equipotencial, la componente de E sobre esta línea es cero. En otras palabras E es siempre perpendicular a las líneas (o superficies) equipotenciales. A partir de estas líneas equipotenciales, se pueden encontrar las líneas de campo, trazando las trayectorias ortogonales a las líneas equipotenciales. Son líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso del campo eléctrico, puesto que tiene magnitud y sentido, se trata de una cantidad vectorial, y las líneas de fuerza o líneas de campo eléctrico indican las trayectorias que seguirían las partículas positivas si se las abandonase libremente a la influencia de las fuerzas del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea de fuerza en cualquier punto considerado.

Una carga puntual positiva dará lugar a un mapa de líneas de fuerza radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en la dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porque las cargas móviles positivas se desplazarían en ese sentido (fuerzas repulsivas). En el caso del campo debido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de fuerza sería análogo, pero dirigidas hacia la carga central. Como consecuencia de lo anterior, en el caso de los campos debidos a varias cargas las líneas de

...