Apuntes de Clases Asignatura:Complemento de Cálculo.

Apuntes de Clases

Asignatura:                Complemento de Cálculo.

Código:                252.

Carrera:                Ingeniería de Ejecución.

Semestre:                Primero del 2002.

Unidad:        Integral Definida: Suma de Riemann, Integral definida, Propiedades de la Integral Definida, Teorema Fundamental del Cálculo.

[pic 3]

Sea f una función definida en el intervalo [pic 4] y P una partición del intervalo en n sub-intervalos de la forma

[pic 5]. Donde [pic 6].

Consideremos a [pic 7] como la longitud del intervalo i-ésimo y a [pic 8]como un valor cualquiera perteneciente al intervalo [pic 9]. Gráficamente se tiene la siguiente figura.

[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

[pic 26][pic 27]

Sea [pic 28]un valor cualquiera perteneciente al intervalo [pic 29]. Se tiene entonces que  [pic 30]y [pic 31]corresponden al ancho y a la altura del rectángulo i-ésimo. De este modo el área total formada por los n rectángulos está dada por la suma

[pic 32]

[pic 33]

Esta suma se denomina Suma de Riemann de f asociada a la partición P. La suma de Riemann se puede considerar como una aproximación al área bajo la curva [pic 34], siendo [pic 35], para todo [pic 36].

En la medida que la partición este compuesta por mayor cantidad de intervalos, la aproximación al área total bajo la curva por medio de suma de Riemann es mayor. Esto implica que podemos usar el límite de la suma, cuando n tiende a infinito para calcular el área exacta bajo la curva.

Para una partición P, llamaremos norma de la partición a la mayor de las longitudes de los sub-intervalos y la denotaremos por

[pic 37]

[pic 38]

Si todos los intervalos son de igual longitud, entonces la norma está dada por

[pic 39]

Para una partición cuyas longitudes son irregulares, se cumple la siguiente relación para la norma

[pic 40]

Por tanto, si [pic 41], entonces [pic 42]. Es decir a medida que la norma tiende a cero, el número de sub-intervalos de la partición tiende a infinito. Esto implica que la suma de las áreas de los rectángulos que se forman a partir de la partición tiende al área total bajo la curva [pic 43].

[pic 44]área bajo la curva f

Esto se puede observar gráficamente

[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]

  [pic 71]

Definición de integral definida

Si f está definida en el intervalo[pic 72] y el límite de la suma de Riemann de f existe, entonces se dice que f es integrable en [pic 73] y denotamos este límite por

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76] se denomina la integral definida de f entre a y b. Los valores a y b se denominan "límites de integración inferior y superior", respectivamente.

Nota: Una definición equivalente para la integral definida está dada por [pic 77].

Para que una función sea integrable es necesario mostrar que existe el límite de la suma de Riemann, sin embargo basta que una función sea continua en el intervalo de integración para que sea integrable. Esto se resume en el siguiente teorema.

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