CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

CÁLCULO

DE

VARIAS VARIABLES

Cálculo de Área y Volumen de un Recipiente

GRUPO N.º 4

ALCIVAR SALINAS ENRIQUE ARTURO

MACIAS BRIONES CARLOS GREGORIO

Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas

AGOSTO 2018

Introducción

Las ciencias sociales son aquellas que estudian y analizan el comportamiento y modos de vida individual y grupal. Dentro del estudio de las ciencias sociales, interdisciplinariamente, el ser humano es sujeto y objeto de este.

La economía por ser una ciencia social, la cual tiene origen en el siglo XVIII con Adam Smith -el “Padre” de la economía-, debe arrancar y aterrizar en la misma realidad de la que parte, de este modo, mediante un estudio económico podemos determinar que al existir desigualdad económica la población aumenta los niveles de pobreza.

Dentro del estudio de la economía se encuentra el concepto de mercado, el cual es el conjunto de ofertantes y demandantes de un bien o servicio en específico. Cuando se encuentran dentro del mercado una gran cantidad de oferentes que ofrecen un mismo producto, los demandantes (compradores) tienen varias opciones a escoger dependiendo del precio del producto, el cual se establece por la interacción de los entes dentro del mercado.

A este mercado, que tiene gran cantidad de ofertantes y demandantes, se le conoce como mercado competitivo, dentro del cual existe una competencia perfecta y los productores son precio-aceptantes. Es decir, si se desea ingresar a este mercado con cualquier producto, se deberá tomar como precio de venta aquel que ya está establecido en el mercado en sí.

Por lo cual siempre se recomienda optimizar implementos, recursos, etc., para poder obtener ganancias al entrar en competencia.

Una de las formas de optimizar recursos es realizar cálculos previos a la implementación de una producción en masa, y para esto podemos hacer uso de herramientas como el cálculo de varias variables, que nos ayudaría a encontrar áreas, centros de masa, volúmenes, longitud de curva, etc., mediante la aplicación de derivadas o integrales, según sea el caso. En esta ocasión será encontrar el área y el volumen de un envase dado por un productor.

Problemática

El ingresar a un mercado competitivo es un gran reto para un productor en crecimiento, este debe analizar cada una de las variantes de mercado, además de investigar la forma de distribución y venta de los productos con los cuales desea entrar en competencia.

Como ya se había detallado durante la introducción, una de las condiciones al entrar en este tipo de mercado, es que los productores sean precio-aceptantes. Por tal motivo estos, ayudado de asesores, buscan diferentes estrategias para optimizar su proceso de producción, distribución y marketing de sus productos.

Pero cuando desean ingresar con una nueva presentación de un producto, siempre tienen una pregunta: ¿Qué cantidad de material puede ingresar en este recipiente?, generalmente el material es líquido, como sucede con nuestro ejercicio.

Un productor local desea ingresar al mercado competitivo de las bebidas azucaradas, el cual es muy amplio en nuestro país, además quiere hacer el ingreso con una presentación rústica para su producto. Nos presenta el diseño y podemos constatar que se trata de un envase con forma cilíndrica truncada.

No nos entrega ningún otro dato respecto a su envase por lo cual nos pide a nosotros lo siguiente:

1. Fórmulas para poder hacer la gráfica de su diseño en el plano (X, Y, Z)[pic 1]
2. El área de las tapas que tendrá su producto.
3. El volumen que puede contener el diseño por el presentado.

Para obtener los datos haremos uso de los conocimientos obtenidos durante el presente periodo de la materia Cálculo de Varias Variables.

Marco Teórico

El cilindro truncado es un sólido limitado por una cada lateral cilíndrica y dos bases planas que no son paralelas, una de ellas es circular y la otra es elíptica.

El área es un espacio delimitado por determinadas características, en la geometría es la superficie comprendida dentro de un perímetro. tiene como unidad principal el metro cuadrado (m2) en el Sistema Internacional de Unidades.

En el ámbito geométrico ya existen fórmulas determinadas para diferentes figuras, entre ellas la circunferencia y la elipse. Luego del análisis de los datos que se puede recoger de cada una se puede utilizar las siguientes fórmulas para obtener de estas lo requerido, es decir su área:

[pic 2]

[pic 3]

En el caso del área de la circunferencia es la multiplicación de la constante π por el radio de la circunferencia elevado al cuadrado.

Por otro lado, en el caso de la elipse, su área esta determinada por la multiplicación de la constante π por el valor de su semieje “a”, por el valor de su semieje “b”.

El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo en el plano tridimensional, tiene como unidad principal el metro cúbico (m3) en el Sistema Internacional de Unidades.

Si deseásemos encontrar el volumen de un cilindro también tenemos una fórmula ya determinada para los mismo, la cual es:

[pic 4]

Siendo el volumen del cilindro igual a la multiplicación de la contante π por el radio de su base (circunferencia) elevado al cuadrado, por la altura de su cara lateral cilíndrica.

En este caso tenemos un cilindro truncado, para encontrar el volumen de este sólido utilizaremos los conocimientos obtenidos en esta materia, en particular usaremos el concepto y la evaluación de integrales triples.

Las integrales triples son aquellas que se definen para funciones de tres variables, expresado matemáticamente:

        Sea D una región cerrada y acotada del espacio en ℝ3

                [pic 5]

        Sea f: ℝ3 → ℝ una función continua y definida sobre la región D.

        La integral triple de f sobre D, se define como:

[pic 6]

Siendo ,[pic 7]

[pic 8]

Siendo f continua en la región D y , finalmente tenemos:[pic 9]

[pic 10]

Para el cálculo del volumen de un sólido a partir de las integrales triples, se debe comenzar con el caso especial donde: para los puntos dentro de la región de integración. Con lo cual el volumen de un sólido queda expresado por:[pic 11]

...