CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Javier BallesterosInforme6 de Septiembre de 2019
7.232 Palabras (29 Páginas)520 Visitas
CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Muchos fenómenos naturales en Física, Química, Biología y otras ciencias son expresados en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales.
Definición.
Se llama ecuación diferencial a una ecuación que contiene derivadas o diferenciales.
Ejemplos:
d 2 y
a) dx2[pic 1]
- 3 dy
dx[pic 2]
- 5y = x2e
−5x
c) ∂z
∂x[pic 3][pic 4]
= z + x ∂z
∂y[pic 5]
e) (y' ' ')3
+ 2(y' ')2
- y' = cos x
d 2 y
b) x dx2[pic 6]
- 2 dy − 5y = senx dx
d) ∂T
∂t[pic 7]
= 2 ∂ 2T
∂x 2[pic 8][pic 9]
f) y' '−2y'+ y = 0
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según el tipo, orden y linealidad o no.
Clasificación según el tipo:
- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: es una ecuación diferencial que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Ejemplos:
- dy − 5 y = 1 c) du − dv = x[pic 10][pic 11][pic 12]
dx
- (x + y)dx − 4 ydy = 0
dx dx
d 2 y dy
- ) − 2[pic 13][pic 14]
dx 2 dx
+ 6 y = 0
- Ecuaciones Diferenciales Parciales: Son ecuaciones diferenciales que contienen las derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes. Ejemplos:
- ∂u[pic 15]
∂y
= − ∂v
∂x[pic 16]
∂ 2u
- ∂y 2[pic 17]
= ∂ 2u
∂t 2[pic 18]
− 2 ∂u
∂t[pic 19]
- x ∂u
∂x[pic 20]
- y ∂u = u
∂y[pic 21]
- Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial lo indica la derivada más alta que tenga de la ecuación.
Ejemplos: a)
d 2 x dx a
dt 2 dt[pic 22][pic 23][pic 24]
- kx = 0
es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
b) ∂u − ∂u = x − 2 y
[pic 25] [pic 26]
es una ecuación diferencial parcial de primer orden.
∂x ∂y[pic 27]
[pic 28]
- Clasificación según la linealidad o no linealidad: Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma:
con an(x) ≠ 0, donde: x = variable independiente
y = variable dependiente En otro caso se dice que la ecuación diferencial es no lineal.
Observación: Las ecuaciones diferenciales lineales presentan las siguientes características:
- La variable dependiente y, junto con todas sus derivadas son de primer grado.
- Los coeficientes an(x) dependen de la variable independiente x o pueden ser constantes.
- No hay productos entre la variable dependiente y y entre sus derivadas, ni productos entre las derivadas.
Ejemplos:
xdy + ydx = 0
y''−2y'+ y = 0
ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden. ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.
d 3 y[pic 29]
x dx3 x[pic 30][pic 31]
2 d 2 y dx2
- 3x dy + 5y = ex
dx[pic 32]
ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden.
yy''−2y' = x
ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden.
d 3 y
[pic 33]
dx3
+ y 2 = 0
ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden.
Complete la siguiente tabla.[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]
Ecuación Diferencial | Tipo | Orden | Grado | Lineal |
d 2 y + dy 2 − 5y = senx dx2 dx | ||||
2 d 2 y dy x x + 2 − 5y = e dx 2 dx | ||||
∂ 2 y + ∂y [pic 38] [pic 39] ∂x 2 3 ∂z = c | ||||
d 3 y + dy 3 2 − 5y = ln x dx3 dx | ||||
d 2 y ⎛ dy ⎞2 x + 5⎜ ⎟ − 3y = 0 dx 2 ⎝ dx ⎠ | ||||
∂ 2 y + ∂y x ∂x2 3 ∂z = e + y |
- Orígenes de las Ecuaciones Diferenciales.[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]
Los fenómenos naturales más importantes implican cambios, razón por la cual hacemos uso de las ecuaciones para relacionar estas cantidades variables. Veamos algunas aplicaciones:
...