Calculo 4

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

CÁLcULo APLicADo Segunda Práctica Dirigida Semestre Académico: 2022-1

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ

Horarios: Todos

Elaborado por J. Cuadros.

[pic 1][pic 2]

1. Sea P el punto de intersección de la curva

r(t) = (t3, t, t2),        (0 ≤ t < ∞)

y la superficie

z3 + xyz − 2 = 0

Halle el ángulo (agudo) que se forma entre la curva y la superficie en P.

1. Sea S una superficie que se obtiene al unir con segmentos de recta, paralelos al plano XY , con un extremo en el eje Z y el otro extremo esta en la curva regular

α(t) = cos t , sen t , t

[pic 3]        [pic 4]

 ,        t ∈ [−1, 1]

 1 + t2     1 + t2        1 + t2[pic 5]

1. Demuestre que S es una superficie regular.
2. Verifique que el punto P0 = (1/2, 0, 0) pertenece a S.
3. Halle la ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto P0.

1. Considere la región S en R3 acotada inferiormente por el cono z  x2   y2 y acotado superiormente  por  x2  y2  z2  2. Estas dos superficies se intersecan en un circunferencia horizontal. Sea  D  el  disco horizontal que posee como borde a esta circunferencia, E la parte de la esfera que forma la tapa superior de S, y C la parte del cono que forma la superficie inferior de S. Considere el campo F(x, y, z) (x, y, 0). Si las parametrizaciones dadas para D, E y C tienen vectores normales con ter- cera componente (componente kˆ ) positiva, determine si las integrales de flujo (fluctuación de flujo) de F sobre D, E y C son positiva, negativa o cero.[pic 6][pic 7][pic 8]

1. Sea S la porción del cilindro (x        1)2        y2        1 dentro de la semiesfera x2        y2        z2        4,        z        0. Halle la tercera coordenada de centro de masa de S si la densidad de la masa es constante.[pic 9]

[pic 10]

1. Calcule (xy+ yz + xz) dS, donde S es la parte de la superficie cónica z = x2 + y2 limitada por

S

la superficie x2

+ y2

= 2ax (a > 0).

1. Sea S la porción de la superficie (x        y   1)2        z2        4 que se encuentra en el primer octante. Halle el flujo (fluctuación de flujo) producido en S por el campo vectorial[pic 11]

F = (xy, z − xy, 0).

PROBLEMAS OPCIONALES

1. Considere el campo escalar φ(x, y, z) =        1        3 y la superficie S dada por el gráfico de f (x, y) =

[pic 12]

(x2+ y2+1)

(x2 + y2)/2. Halle la integral de φ sobre S.

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