Derivacion Implicita (calculo 4)

1. Derivación implícita para funciones de varias variables (2 o mas variables)

Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función implícita definida mediante la ecuación puede calcularse o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:

, siempre que

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables definida mediante la ecuación puede calcularse mediante las fórmulas:

; , siempre que

Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno de con

Dada la ecuación Si el punto cumple la ecuación , la función F tiene derivadas parciales continuas en un entorno de y entonces la ecuación define una función explícita en un entorno de dicho punto.

Ejemplos

a. Calcula y', siendo

Solución:

Tenemos:

hallamos las derivadas parciales:

;

Por lo tanto:

b. Calcula y , siendo

Solución:

Tenemos:

hallamos las derivadas parciales:

; ;

Por lo tanto:

:

c. Demuestra que la ecuación define en un entorno del punto (1, 1) una función Calcula y'(1) e y''(1)

Solución:

a) Existencia de la función explícita:

Consideramos la función: tenemos:

F es diferenciable con continuidad en y por lo tanto en un entorno de (1, 1)

Luego, de acuerdo con el teorema de existencia de funciones implícitas existe en un entorno de 1 con

b) Cálculo de y'(1)

Derivamos la ecuación teniendo en cuenta que y es función de x

sustituyendo

c) Cálculo de y''(1)

Derivando la ecuación se tiene.

Este caso particular también se podía haber resuelto despejando y eligiendo el signo + ya que

2. Criterio de las Derivadas parciales segundas para hallar máximos y mínimos relativos

Criterio de la segunda derivada

Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función. Antes de analizar como es la relación de la segunda derivada conoceremos algunas definiciones:

Definición.

Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es cóncava hacia abajo cuando la primera derivada es creciente en un intervalo abierto (a,b)

Definición.

Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c y además:

a) f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.

Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos

Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

a).- Si f´(a)=0 y f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

b).- Si f´(a)=0 y f´(a)>0

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