Colaborativo Dos

TRABAJO COLABORATIVO 1

MARIA FRANCY BUITRAGO BEDOYA

C.C. 1120924426

ISMAEL DEVIA GONZALEZ

CC. 1.120.742.846

YURANY AUDREY HINCAPIE

C.C. XXXXXXXXX

CALCULO DIFERENCIAL

Ingeniero Metalúrgico

NEMESIO CASTAÑEDA

Tutor

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD

San José del Guaviare, 29 de septiembre de 2014

INTRODUCCIÓN

El desarrollo de este trabajo de carácter colaborativo nos permite a través del desarrollo de los ejercicios y solución de problemas matemáticos planteados en la actividad con el apoyo del contenido del curso y la práctica del trabajo colaborativo en este primer tema de progresiones y sucesiones.

TRABAJO COLABORATIVO UNO (1)

El estudiante debe desarrollar los siguientes ejercicios:

Determinar si la sucesión V_n=(2(2n+1))/(n+1) es convergente o divergente.

Se van a usar los límites para determinar si la función converge o diverge.

lim┬(n→∞)⁡〖V_n 〗

lim┬(n→∞)⁡〖2(2n+1)/(n+1)〗 = 〖 lim〗┬(n→∞)⁡〖(4n+2)/(n+1)〗 = lim┬(n→∞)⁡〖((4n+2)/n)/((n+1)/n)〗 = lim┬(n→∞)⁡〖(4n/n+2/n)/(n/n+1/n)〗

lim┬(n→∞)⁡〖(4+0)/(1+0)〗 = lim┬(n→∞)⁡〖4/1〗 = 4

Esto quiere de sir que la serie es convergente, y converge en 4

Demostrar que W_n=[(n+2)/n] es estrictamente creciente o decreciente.

Primero hay que escoger una formula, como no conocemos empezamos por la de la sucesión creciente.

W_(n+1)-W_n>0

Reemplazando W_n y W_(n+1):

[((n+1)+2)/(n+1)-(n+2)/n] = [(n+1+2)/(n+1)-(n+2)/n] = [(n+3)/(n+1)-(n+2)/n]

{((n+3)n-[(n+2)(n+1)])/(n+1)n} = [(n^2+3n-(n^2+2n+n+2))/(n^2+n) ]

(n^2+3n-n^2-2n-n-2)/(n^2+n) = (-2)/(n^2+n)

La sucesión es decreciente debido a que el término (-2)/(n^2+n) siempre será negativo.

3.C_o= {0,1/4,1/2,3/4,………}

Analizando el ejercicio, se puede observar que la diferencia común es 1/4 ya que cada termino es la suma entre el anterior y 1/4, por lo que se puede inferir que la sucesión es de tipo aritmético.

Ahora se halla el término general de la sucesión mediante la siguiente formula.

U_n=U_a+(n-a)d

En donde:

U_n=Termino n-esimo

U_a=Primer termino

n=Numero de terinos que tiene la progresión

d=Diferencia comun

Reemplazando:

U_n=0+1/4 (n-1) = U_n=1/4(n-a)

En donde a=1

4. C_o={1,-1/2,1/4,-1/8,1/16,………}

Analizando, se puede observar que la diferencia común es un valor multiplicado por el anterior en la sucesión, así que primero se va a hallar el valor de la diferencia común.

q= U_(n+1)/U_n ,siempre que U_n≠0

Reemplazando:

q= ((-1)/2)/1 = (-1)/2

Ahora se halla el termino general de la sucesión mediante la siguiente formula.

U_n=q^(n-a) U_a

En donde:

U_a=Primer termino

q=Diferencia comun

U_n=Termino n-esimo

Reemplazando:

U_n=1((-1)/2)^(n-a) = ((-1)/2)^(n-a)

En donde a=1

5.C_0={2,(2√3)/3,2/3,(2√3)/9,………}

Analizando, se puede observar que la diferencia común es un valor multiplicado por el anterior en la sucesión, así que primero se va a hallar el valor de la diferencia común.

q=((2√3)/3)/2 = (2√3)/6

q=√3/3

Ahora se halla el termino general de la sucesión mediante la siguiente formula.

U_n=q^(n-a) U_a

Reemplazando:

U_n=2(√3/3)^(n-a)

En donde a=1

La sucesión es de tipo aritmético.

6. La suma de los números múltiplos de 9 menores o iguales a 2304. ¿Cuántos términos hay?

a_n=9+(n-1)9

a_n=9+9n-9

a_n=9n

2304=9n

n=2304/9=256

Como 2304 es un múltiplo de 9, entonces, como cada múltiplo de 9 aparece cada 9 números, se divide 2304 / 9 dando como resultado 256. Este resultado sería igual al número de términos. El primer múltiplo de 9 es 9. Forman una progresión aritmética de razón igual a 9, cuyo primer elemento es 9 y el último es 2304.

7. La suma de los números pares de cuatro cifras. ¿Cuántos términos hay?

Del 1000 al 10000 hay 9000 números. Entonces se representa así:

2n=9.000 por lo tanto n=4.500 (cantidad de numeros pares)

Resolviendo la sucesión así:

a_n=4.500 (1.000+9.998)/2 〖entonces,a〗_n=4.500 10998/2 〖continua,a〗_n=4.500*5.499

Resultado final a_n=24.745.500 (sumatoria de números)

8. En una progresión aritmética el tercer término es 24 y el décimo término es 66. Hallar el primer término y la diferencia común de la progresión.

a_(n=) a_1+(n-1)d

24=a_1+2d(1) y 66=a_1+9d(2)

a_1=24-2d(3) y se reemplaza: 66=(24-2d)+9(d)

d=42/7 entonces,d=6

a_1=24-(6)=18

Primer término es 18 y la diferencia común es 6.

9. El caracol gigante africano (GAS en inglés) fue encontrado por primera vez en el sur de Florida en la década de los 60. La erradicación de esta plaga llevó diez años y costó un millón de dólares. Se reproduce rápidamente y produce alrededor de 1.200 huevos en un solo año. Si no se le controla, si de cada huevo resulta un caracol, sabiendo que en una granja del Meta se encontraron inicialmente 5.000 caracoles. ¿Cuántos caracoles gigantes africanos existirían dentro de 10 años? No olvide usar los conceptos y fórmulas de las sucesiones y progresiones.

a_n=5.000+1.200 (n)

a_n=5.000+(1.200 (10))

a_n=5.000+12.000

a_n=17.000 esta es la cantidad total de caracoles africanos existentes en 10 años.

10. En la granja de la UNAD en Acacias se quiere

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