Coordinaci´on de ´Algebra

Gu´ıa de Ejercicios N◦1

Coordinaci´on de ´Algebra II

Ricardo Santander Baeza

10 de Septiembre del 2014

El Trabajo dignifica

al ser humano

Estimados estudiantes, los profesores que componen esta coordinaci´on, les proponen estos ejercicios con el ob-

jetivo de que a trav´es del trabajo que significa analizarlos, comprenderlos y finalmente resolverlos, consigan en

el m´as breve plazo, si es que a´un no lo han hecho, sentir por una parte el placer de estudiar matem´atica, y por

otra desarrollar competencias adecuadas que les permitan de manera eficiente, operar con:

[1] Matrices y Determinantes

1. Algunas sugerencias

[1] Lea cuidadosamente el problema.

[2] Reconozca lo que es informaci´on, de lo que es ”incognita”, o lo que a usted se le consulta.

[3] Trate de entender en la forma m´as clara para usted, lo que se le pide, en particular si puede usar ”sin´onimos”,

que le permitan facilitar su respuesta, cuanto mejor !. Este acto nunca esta de m´as.

[4] Analice sus datos extrayendo la informaci´on que corresponde, orientado por su entendimiento de lo que

debe probar.

2. Matrices y Determinantes

[1] Si A =0@

1 1 1

0 1 1

0 0 1

1A

∈ MR(3). Determine An, para n ∈ N.

[2] Demuestre usando Inducci´on matem´atica que

0@

a 1 0

0 a 1

0 0 a

1A

n

= 0@

an nan−1 n(n−1)

2 an−2

0 an nan−1

0 0 an

1A

(∀n; n ∈ N)

[3] Si A ∈ U(MR(n)) entonces calcule usando propiedades:

• det(Adj(A))

• det(A−1)

• det(A · A−1)

[4] Si A =0@

  −

1  0

  −

1A

∈ MR(3) entonces

1

2 Coordinaci´on de Algebra II Ricardo Santander

[a] Determine el conjunto

I = {(, ) ∈ R2 | A ∈ U(MR(3)}

[b] Para u ∈ I, (si I 6= ∅ ), determine A−1

[5] Si det0@

a b c

x y z

p q r

1A

= −1 entonces calcule det0@

a + b b + c c + a

x + y y + z z + x

p + q q + r r + p

1A

[6] Demuestre usando propiedades que

det0@

x + y y + z z + x

a + b b + c c + a

p + q q + r r + p

1A

= 2 · det0@

z x y

c a b

r p q

1A

[7] Demuestre que

det0@

1 1 tan

−tan

tan  1

tan  0 1

1A

= tan  + tan  + tan

− tan  tan  tan

[8] Demuestre que

det

0BB@

x + a a2 a3 a4

a x + a2 a3 a4

a a2 x + a3 a4

a a2 a3 x + a4

1CCA

=

x3(a(x + a4) − (x + a))

a − 1

[9] Si A =

0BB@

a b b b

a b a a

b b a b

a a a b

1CCA

entonces

• Determine el conjunto

S = {(a, b) ∈ R2 | A 6∈ U(MR(4))}

• Grafique el conjunto S

[10] Si A =

0BB@

1 1 1 1

1 1 + a 1 1

1 1 1 + b 1

1 1 1 1 + c

1CCA

entonces determine el conjunto

S = {(a, b, c) ∈ R3 | A 6∈ U(MR(4))}

Coordinaci´on de Algebra II Ricardo Santander 3

[11] Si A =

0BB@

(a − 1) 1 1 1

1 (a − 1) 1 1

1 1 (a − 1) 1

1 1 1 (a − 1)

1CCA

∈ MR(4) entonces determine el conjunto

S = {a ∈ R | A ∈ U(MR(4))}

[12] Si A =

0BB@

1 x −1 1

−1 1 x − 1 −x − 1

0 0 x2 − 4 x + 2

1 −1 x2 − x − 3 2x + 3

1CCA

∈ MR(4) entonces determine el conjunto

S = {x ∈ R | A 6∈ U(MR(4))}

[13] Si A =

0BBBB@

a a + 1 a + 2 a + 3 a + 4

a − 1 a a + 1 a + 2 a + 3

a − 2 a − 1 a a + 1 a + 2

a − 3 a − 2 a − 1 a a + 1

a − 4 a − 3 a − 2 a − 1 a

1CCCCA

∈ MR(5) entonces determine el conjunto

S = {a ∈ R | A 6∈ U(MR(5))}

[14] Si A =

0BBBB@

1 + x x x x x

x 1 + x x x x

x x 1 + x x x

x x x 1 + x x

x x x x 1 + x

1CCCCA

∈ MR(5) entonces determine el conjunto

S = {x ∈ R | A ∈ U(MR(5))}

[15] Si A ∈ MR(3), B ∈ MR(3) y X ∈ MR(3) entonces demuestre que

A · X = X · A

∧

B · X = X · B

9=;=⇒

(A ·

B) ·

X

=

X

·

(A ·

B)

[16] Si A = (aij) ∈ MR(3) entonces muestre que

A2 + A + I3 = (0) =⇒ A3 = I3

Donde I3 es la matriz identidad de orden 3 y (0) es la matriz nula o cero de orden 3.

[17] Sea A ∈ MR(n). demuestre que

A = At =⇒ Adj(A) = (Adj(A))tGu´ıa de Ejercicios N◦1

Coordinaci´on de ´Algebra II

Ricardo Santander Baeza

10 de Septiembre del 2014

El Trabajo dignifica

al ser humano

Estimados estudiantes, los profesores que componen esta coordinaci´on, les proponen estos ejercicios con el ob-

jetivo de que a trav´es del trabajo que significa analizarlos, comprenderlos y finalmente resolverlos, consigan en

el m´as breve plazo, si es que a´un no lo han hecho, sentir por una parte el placer de estudiar matem´atica, y por

otra desarrollar competencias adecuadas que les permitan de manera eficiente, operar con:

[1] Matrices y Determinantes

1. Algunas sugerencias

[1] Lea cuidadosamente el problema.

[2] Reconozca lo que es informaci´on, de lo que es ”incognita”, o lo que a usted se le consulta.

[3] Trate de entender en la forma m´as clara para usted, lo que se le pide, en particular si puede usar ”sin´onimos”,

que le permitan facilitar su respuesta, cuanto mejor !. Este acto nunca esta de m´as.

[4] Analice sus datos extrayendo la informaci´on que corresponde, orientado por su entendimiento de lo que

debe probar.

2. Matrices y Determinantes

[1] Si A =0@

1 1 1

0 1 1

0 0 1

1A

∈ MR(3). Determine An, para n ∈ N.

[2] Demuestre usando Inducci´on matem´atica que

0@

a 1 0

0 a 1

0 0 a

1A

n

= 0@

an nan−1 n(n−1)

2 an−2

0 an nan−1

0 0 an

1A

(∀n; n ∈ N)

[3] Si A ∈ U(MR(n)) entonces calcule usando propiedades:

• det(Adj(A))

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