CONJUNTOS - ALGEBRA

¿Qué es un conjunto?

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.

El concepto de conjunto es conjunto es fundamental en todas las ramas de las matemáticas. Es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que, como se verán pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros de un del conjunto.

Los conjuntos se estudian como entidades abstractas. El concepto de conjunto a sido utilizado de forma tan generalizada en todas las matemáticas modernas, que es preciso su conocimiento por parte de todo estudiante de nivel universitario. Los conjuntos son un medio por el cual los matemáticos hablan de colecciones de objetos de una manera abstracta.

Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten.

Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los número primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos.

Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Violeta, Naranja}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante una serie de operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y la lógica. Por otro lado, son el concepto más fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros.

Descripción de un conjunto

Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:

Una de ellas es mediante una definición intensiva, usando una regla o definición semántica:

A es el conjunto cuyos miembros son los cuatro primeros números naturales.

B es el conjunto de colores de la bandera de México.

La segunda manera es por extensión, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjunto entre llaves:

C = {4, 2, 3, 1}

D = {blanco, rojo, verde}

Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto.

Por ejemplo:

"El conjunto de las vocales en español" = {e, u, a, i, o}

En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D

Debido a la propiedad de la extensionalidad, el orden en el que se especifiquen los elementos de un conjunto es irrelevante (a diferencia de una tupla o una sucesión).

Por ejemplo:

C′ = {1, 2, 4, 3} es igual a C = {4, 2, 3, 1}

D′ = {verde, blanco, rojo} es igual a D

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