Curvas Cónicas (Circunferencia Y Parábola)

Las curvas cónicas se generan por la intersección o corte de un plano con la superficie de un cono circular. El nombre de cónica proviene de que cada una de estas curvas es el resultado de cortar (o intersecar) un cono con un plano. Dependiendo de la inclinación de dicho plano respecto al cono, el resultado será una curva u otra. Así, si cortamos por un plano perpendicular al eje del cono, obtenemos una circunferencia; si el plano es “oblicuo” al eje, la curva es una elipse; si ahora el plano es paralelo a la generatriz del cono se obtiene una parábola; y por ´ultimo, si el plano es paralelo al eje, la intersección da lugar a una hipérbola (véase la figura).

Características generales.

 Las curvas cónicas son las secciones planas de un cono de revolución.

 El cono de revolución es la superficie que genera una recta r al girar alrededor de otra recta.

 La recta r se denomina generatriz.

 La recta sobre la que gira r se denomina eje.

 El punto de corte de la recta r y el eje se denomina se denomina vértice del cono.

 Las dos partes de la superficie cónica se denominan hojas y se encuentran separadas entre sí por el vértice V

• Aplicaciones, ¿Para que funcionan las curvas cónicas?

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de la gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas. También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas. Además tienen un peso muy importante en las matemáticas, la física y la arquitectura.

• Circunferencia

Si el plano corta perpendicularmente al eje de la superficie cónica. La curva resultante es una circunferencia. El radio de la circunferencia dependerá de la altura a la que se realice el corte, dando como resultado desde un solo punto (cuando el corte se realiza en el punto medio del cono) hasta una circunferencia de radio infinito.

 Ecuación de la circunferencia

Para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.

Así la vemos Así podemos expresarla

Donde:

(d) Distancia CP = r

y

Fórmula que elevada al cuadrado nos da

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

También se usa como

(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia(a, b).

• Parábolas

Si el plano es paralelo a la generatriz de la superficie cónica. La curva resultante es una parábola. Si inclinamos el plano, de modo que sea oblicuo con el eje y que sea paralelo a una generatriz resulta la parábola

Focos y directrices

Focos: El foco o los focos (F1-F2 o F-F’) de una curva cónica son los puntos de tangencia entre el plano secante que produce la cónica y las esferas inscritas

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