CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VARIAS VARIABLES

[pic 1]

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VARIAS VARIABLES (MA232)

EXAMEN FINAL

Ciclo 2010-01

Profesores:         Luis Callo, José Cuevas, Gustavo Mesones, Orlando Moreno, Luis Paihua, Ernesto Valencia.

Secciones:         Todas.

Duración:        170 minutos.

Indicaciones:[pic 2]

1. Indique si los razonamientos siguientes son correctos o no. En cualquier caso justifique adecuadamente su respuesta.

1. Si S es una esfera y F es un campo vectorial constante, por lo tanto [pic 3]

        (1 punto)

1. Sean la semiesfera [pic 4] y el paraboloide [pic 5]. Suponga que F es un campo vectorial en [pic 6]cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas, entonces  [pic 7]        (1 punto)

[pic 8]

Solución:

1. La siguiente integral múltiple está expresada en coordenadas cilíndricas

[pic 9].

1. A partir de los límites de integración y utilizando coordenadas esféricas, describa la región sobre la cual se integra.        (1,5 puntos)
2. Calcule el volumen de la región indicada.        (1,5 puntos)

[pic 10]

Solución:

1. S es la parte del cono [pic 11] que está entre los planos [pic 12] y [pic 13], las medidas están dadas en dm. Calcule la masa de un embudo metálico que tiene la forma de la superficie S y cuya densidad superficial está dada por [pic 14].        (2 puntos)

[pic 15]

Solución:

1. La curva cerrada C es el borde de la parte del cilindro S:[pic 16]limitado por los planos [pic 17]

1. Evalúe [pic 18], donde [pic 19].        [pic 20]

        (2 puntos)

1. Plantee la integral que permite calcular el área de la superficie S        (2 puntos)

[pic 21]

Solución:

1. Dado el campo vectorial [pic 22]

1. Halle, si existe, una función potencial para [pic 23].        (1,5 puntos)
2. Calcule [pic 24], donde [pic 25] es una curva que consta de dos tramos :[pic 26] 

[pic 27] 

[pic 28]Segmento de recta que une los puntos [pic 29]        (1,5 puntos)

[pic 30]

Solución:

1. Dados el Campo vectorial [pic 31]y la superficie S que es la frontera de la región sólida E, encerrada por el paraboloide [pic 32] y el plano [pic 33]. Evalúe [pic 34]de dos formas distintas:

1. En forma directa         (2 puntos)
2. Mediante el teorema de la divergencia.        (1,5 puntos)

[pic 35]

Solución:

1. Una serie [pic 36] está definida de acuerdo con las condiciones [pic 37];   [pic 38]. Determine si [pic 39] es convergente.        (2,5 puntos)

[pic 40]

...