Distribucion Multinominal

Distribuciones multinomiales de probabilidad

Si un vector de probabilidades p = (p1, p2,...., pk) caracteriza una distribución de probabilidad desconocida de una variable X en el vector de clases o grados de libertad Ω = {ω1, ω2,..., ωk} donde cada pi = px({ωk}) > 0 es la probabilidad de ocurrencia de la clase i y con la condición de que Σpi = 1, y si igualmente, el vector n = (n1, n2,....,nk) es una distribución de eventos relacionados a un vector de clases Ω en donde ni denota el número de observaciones que se asignan a la clase ωl y en la cual nk denota el número de observaciones para cada ωk en una muestra aleatoria de tamaño N; en general una variable X puede ser representada mediante una distribución multinomial, si se hace equivaler el vector de probabilidades p al vector de frecuencias observadas f = (f1, f2,..., fk), estimando cada fk como fk= ni/N. Con lo anterior se asume, entonces, que f es el vector que define las propiedades de la población (Masson y Denoeux, 2006).

Lo que se propone en este papel, y siendo consonantes con las ideas de Masson y Denoeux (2006), es que si X es una variable aleatoria hidrológica se considera factible que se represente mediante una función de probabilidad del tipo multinomial como la que se describe. En la Figura 1 se representan esquemáticamente una distribución multinomial y sus parámetros.

La distribución multinomial sigue el siguiente modelo:

Donde:

X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que el partido POPO lo hayan votado 3 personas)

n: indica el número de veces que se ha repetido el suceso (en el ejemplo, 5 veces)

n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

p1: es la probabilidad del suceso X1

Características:

a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.

d) El número de repeticiones del experimento, n es constante.

Este modelo se puede ver como una generalización del Binomial en el que, en lugar de tener dos posibles resultados, tenemos r resultados posibles.

Supongamos que el resultado de una determinada experiencia puede ser r valores distintos: A1, A2, ..., Ar cada uno de ellos con probabilidad p1, p2, ..., pr, respectivamente.

Si repetimos la experiencia n veces en condiciones independientes, podemos preguntarnos la probabilidad de que el suceso A1 aparezca k1 veces, el suceso A2, k2 veces y así sucesivamente:

Al modelo estadístico que nos da dicha probabilidad se le denomina Multinomial, y su función de densidad viene dada por:

como se ve, el modelo Multinomial queda definido por los parámetros (n, p1, p2, ..., pr). La fórmula anterior

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